符号函数

提取實數符號的數學函數
符号函数
性质
奇偶性 奇函数
定义域 (-∞,∞)
到达域
周期 N/A
特定值
当x=0 0
当x=+∞ 1
当x=-∞ -1
最大值 1
最小值 -1
其他性质
渐近线 N/A
0
临界点 N/A
拐点 N/A
不动点 0,1,-1

符号函数Sign function,简称sgn)是一个逻辑函数,用以判断实数的正号。为避免和英文读音相似的正弦函数(sine)混淆,它亦称为Signum function。其定义为:

符号函数的微分
符号函数(蓝色)、符号函数的微分(橘色),其中,符号函数的微分正好是2倍的狄拉克δ函数

性质

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艾佛森括号定义:

 

任何实数都可以表示为其绝对值和符号函数的积:

 

若x不为零,可以由上式得出符号函数的另一个定义:

 

符号函数是绝对值函数的导数:

 

除了在0,符号函数可微分,其导数为0。透过一般化微分概念,可以说符号函数的导数是狄拉克δ函数的两倍:

 

它和单位步阶函数的关系:

 

推广到复数

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符号函数可以推广到复数:对于任意 

 

对于任何z ,除了z = 0以外。复数z的符号函数,是复平面上中心为原点单位圆上距离z最近的点。那么,对于z ≠ 0,有:

 

其中arg表示辐角
出于对称的原因,并且为了实现对实数的符号函数的适当推广,对于z = 0,也常常在复数域中定义:

 

符号函数在复数范围的另外一个推广是csgn函数,定义为:

 

即是在一四象限及 xy 轴正半轴为1,二三象限及 xy 轴负半轴为-1,原点为0。
对于 csgn,我们有(除了z = 0以外):