特殊直角三角形

特殊直角三角形是一些有特殊性质的直角三角形，其特殊性质可能是使三角形的计算更加方便，或是存在一些较简单的公式。例如有些三角形的内角有一些简单的关系，例如45–45–90度三角形，这是各角有特殊关系的直角三角形。也有些直角三角形的各边有特殊关系，例如各边的比例可以用自然数表示，例如3 : 4 : 5，或是可以用黄金比例表示等。若在处理这些三角形时知道其特殊的边关系或角关系，可以快速的计算一些几何问题而不需用到一些较复杂的公式。

各角有特殊关系

45–45–90度三角形及30–60–90度三角形都是有特殊角的直角三角形，角度分别是30度及45度的倍数

直角三角形的各角有其基本关系：最大角（直角）为90度，也等于另外二角的和。但有些直角三角形的各角还有其他特殊关系。

直角三角形的边长一般会用单位圆或其他几何方式推导而成，若角度为30°, 45°或60°，其三角函数的数值计算会比其他的角度会简单很多。

以下是一些特殊角的三角函数

角度	弧度	sin	cos	tan
0	0	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$	$0$
30	${\tfrac {\pi }{6}}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {1}{\sqrt {3}}}$
45	${\tfrac {\pi }{4}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$	${\tfrac {\sqrt {2}}{2}}={\tfrac {1}{\sqrt {2}}}$	$1$
60	${\tfrac {\pi }{3}}$	${\tfrac {\sqrt {3}}{2}}$	${\tfrac {\sqrt {1}}{2}}={\tfrac {1}{2}}$	${\sqrt {3}}$
90	${\tfrac {\pi }{2}}$	${\tfrac {\sqrt {4}}{2}}=1$	${\tfrac {\sqrt {0}}{2}}=0$	$\infty$

45–45–90

30–60–90

45–45–90度三角形、30–60–90度三角形以及正三角形是平面上的三种莫比斯三角形，任一内角都可以找到对应整数，使内角和整数的乘积为180，参照三角形群（英语：Triangle group）。

45–45–90度三角形

45–45–90度三角形的边长

在平面几何中，将正方形绘制一条对角线会产生一个角度比例为1 : 1 : 2的三角形，而内角和为180度（或是π弧度），因此各角角度为45° (π/4)、45° (π/4)和90° (π/2)。依毕氏定理可得其边长比例为1 : 1 : √2，因此45–45–90度三角形为等腰直角三角形。若绘制45–45–90度三角形斜边的中线，中线会将45–45–90度三角形分割为另外二个较小的45–45–90度三角形，边长是原来的1/√2。

45–45–90度三角形为等腰直角三角形，在平面几何中，这也是唯一是等腰三角形的直角三角形。不过在球面几何学或双曲几何中，有无限种也是等腰三角形的直角三角形。

30–60–90 度三角形

30–60–90度三角形的边长

若三角形各角的比例是1 : 2 : 3，其各角角度会是30°、60°和90°。各边的比例会是1 : √3 : 2。

使用三角函数可以证明上述的事实．利用几何学的证明如下：

绘制边长为2的正三角形ABC，并令D点为线段BC的中点。连接线段AD，则三角形ABD为 30–60–90度三角形，其斜边长度为2，一股BD长度为1。

另一股AD的长度为√3，可以由毕氏定理求得。

30–60–90度三角形是平面几何中唯一一个角度呈等差数列的直角三角形。其证明很简单：假设三个角的角度为等差数列，可以表示为为α, α+δ, α+2δ，因为内角和为180°，可得3α+3δ = 180°，其中有一角会是60度，而且最大角需为90度，因此最小角会是30度。

角度呈等比数列的直角三角形

在平面几何中，30–60–90度三角形是唯一一个角度呈等差数列的直角三角形，角度呈等比数列的直角三角形也只有一种，其角度为π/(2φ²)^[1]、π/(2φ)、π/2，其中公比为黄金比例φ。三个内角的比例为 $1:\varphi :\varphi ^{2}.\,$ 。

根据正弦定律，各边的比例会是 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}:\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}:1$ 。因为各边长的关系也要满足毕氏定理，因此可得 $\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}+\sin ^{2}{\frac {\pi }{2\varphi }}=1$ ^{[注 1]}。

另外，存在以下的恒等式^{[来源请求]}：

\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}+\cos {\frac {\pi }{\varphi }}=0

^{[注 2]}

有趣的是，若将余弦函数以指数来表示，可以得到一个“黄金比例恒等式”，其中有出现黄金比例φ，和出现在欧拉恒等式中的五个数学基本常数π, e, i, 1, 0（不过欧拉恒等式比较简洁）：

e^{\frac {i\pi }{\varphi +1}}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi +1}}}+e^{\frac {i\pi }{\varphi }}+e^{-{\frac {i\pi }{\varphi }}}=0.\,

各边有特殊关系

若三角形各边为整数，三角形的三边称为勾股数，其各角的角度不会是整数^[2]。这类的直角三角形容易记忆，而且三角形的各边比例只要一様，即为相似三角形，就会有一様的特质。利用欧几里得产生勾股数的公式，勾股数的比例比必定满足以下的关系

m^{2}-n^{2}:2mn:m^{2}+n^{2}\,

其中m和n均为正整数，而且m>n。

常见的勾股数

以下是前五个勾股数：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41

其中3 : 4 : 5三角形是唯一边长呈等差数列的直角三角形，在埃及称为“埃及三角形”^[3]。由勾股数的有理数组成的三角形都是海伦三角形，表示其边长和面积都是有理数。

以下是所有二股都小于256的互质勾股数组：

3:	4	:5
5:	12	:13
8:	15	:17
7:	24	:25
9:	40	:41
11:	60	:61
12:	35	:37
13:	84	:85
15:	112	:113
16:	63	:65
17:	144	:145
19:	180	:181
20:	21	:29
20:	99	:101
21:	220	:221

24:	143	:145
28:	45	:53
28:	195	:197
32:	255	:257
33:	56	:65
36:	77	:85
39:	80	:89
44:	117	:125
48:	55	:73
51:	140	:149

52:	165	:173
57:	176	:185
60:	91	:109
60:	221	:229
65:	72	:97
84:	187	:205
85:	132	:157
88:	105	:137
95:	168	:193
96:	247	:265

104:	153	:185
105:	208	:233
115:	252	:277
119:	120	:169
120:	209	:241
133:	156	:205
140:	171	:221
160:	231	:281
161:	240	:289
204:	253	:325
207:	224	:305

斐波那契三角形

从5开始，斐波那契数列中的第6项、第8项、第10项...等偶数项（假设0为第1项）{0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, ...} 为边长为整数的直角三角形的斜边，也就是勾股数中最大的一项。二股中较长的一股为上一个斐波那契三角形的三边和，较短一股为跳过的斐波那契数减去上一个斐波那契三角形的最短边。

第一个斐波那契三角形边长为5, 4和3。跳过数字8，下一个斐波那契三角形边长为13, 12（5 + 4 + 3）和5（8 − 3）。跳过数字21，下一个三角形边长为34, 30（13 + 12 + 5）和16（21 − 5）。此数列会一直延伸，最后会趋近以下的比值：

1:2:{\sqrt {5}}.

Andrew Clarke建议将长度比例为: $1:2:{\sqrt {5}}$ 的三角形称为dom，因为此三角形可以由二格骨牌（domin）延对角线切割而成，此三角形是约翰·何顿·康威及查尔斯·雷丁（英语：Charles Radin）提出的非周期性（英语：aperiodic tiling）风车贴砖（英语：pinwheel tiling）的基础。

几乎等腰的直角三角形

等腰直角三角形的三边不可能都是整数，但存在无限个“几乎等腰”的直角三角形，也就是直角三角形的边长为整数，而且二股长度只差一^[4]。这类几乎等腰的直角三角形可以用佩尔方程递回求解而得：

a₀ = 1, b₀ = 2

a_n = 2b_n–1 + a_n–1

b_n = 2a_n + b_n–1

a_n为斜边的长度，n = 1, 2, 3, ....。最小的几个三角形如下

3 :	4	: 5
20 :	21	: 29
119 :	120	: 169
696 :	697	: 985
4059 :	4060	: 5741
23660 :	23661	: 33461

各边呈等比数列的三角形

开普勒三角的三边分别组成的正方形，面积呈等比数列，其公比为黄金比例

开普勒三角形是特殊的直角三角形，它的三边之比等于 $1:{\sqrt {\phi }}:\phi$ ，为等比数列，其中 $\phi$ 是黄金比， $\phi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}$ .德国数学家及天文学家开普勒最早提出三边满足此比例的三角形。

注释

^ 根据黄金比例的定义， ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$ ，由于 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}$ ，因此原式成立。
^ 根据黄金比例的定义， $1+\varphi =\varphi ^{2}$ ，因此 $\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}$ ；
或者， ${\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1$ ，故 ${\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi$ ，此两角度互补，其cos值为相反数。

参考资料

^ OEIS:A180014
^ Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14）（英语）.
^ A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.
^ C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.

外部链接

[2] 根据黄金比例的定义， ${\frac {1}{\varphi }}=\varphi -1$ ，由于 $\sin {\frac {\pi }{2\varphi }}=\cos \left({\frac {\pi }{2}}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos \left({\frac {\varphi \pi }{2\varphi }}-{\frac {\pi }{2\varphi }}\right)=\cos {\frac {(\varphi -1)\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {{\frac {1}{\varphi }}\pi }{2\varphi }}=\cos {\frac {\pi }{2\varphi ^{2}}}$ ，因此原式成立。

[3] 根据黄金比例的定义， $1+\varphi =\varphi ^{2}$ ，因此 $\cos {\frac {\pi }{\varphi +1}}=\cos {\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos \left(\pi -{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos \left({\frac {\varphi ^{2}\pi }{\varphi ^{2}}}-{\frac {\pi }{\varphi ^{2}}}\right)=-\cos {\frac {(\varphi ^{2}-1)\pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\varphi \pi }{\varphi ^{2}}}=-\cos {\frac {\pi }{\varphi }}$ ；
或者， ${\frac {1}{\varphi +1}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {1}{\varphi }}={\frac {1}{\varphi ^{2}}}+{\frac {\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{\varphi ^{2}}}={\frac {1+\varphi }{1+\varphi }}=1$ ，故 ${\frac {\pi }{\varphi +1}}+{\frac {\pi }{\varphi }}=\pi$ ，此两角度互补，其cos值为相反数。

[1] OEIS:A180014

[4] Weisstein, Eric W. (编). Rational Triangle. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2013-08-31]. （原始内容存档于2021-03-14）（英语）.

[5] A. Aleksei Petrovich Stakhov. Mathematics of Harmony: From Euclid to Contemporary Mathematics and Computer. World Scientific. 2009: p.86. ISBN 9812775838.

[6] C.C. Chen and T.A. Peng. Almost-isosceles right-angled triangles (PDF). University of Queensland. [2013-09-02]. （原始内容存档 (PDF)于2012-02-17）.

[1]

[注 1]

[注 2]

[2]

[3]

[4]