线图

在图论中，图$G$所对应的线图是一张能够反映$G$中各边邻接性的图，记作$L(G)$。简单来说，$L(G)$将$G$中的每条边各自抽象成一个顶点；如若原图中两条边相邻，那么就给线图中对应顶点之间连接一条边。因为线图将原图的边化作了顶点，所以也可以将其视作原图的一种对偶。

哈斯勒·惠特尼证明了：假定图$G$是连通的，那么除了一种特殊情况外，我们总能根据线图$L(G)$的结构还原出$G$的结构。以该定理为中介，可以证明线图的许多其它性质。线图总是无爪图，即线图的所有导出子图均不是$K_{1,3}$。

正式定义

图$G$的线图$L(G)$定义如下：

• $L(G)$的一个顶点对应$G$的一边

• $L(G)$的顶点相邻当且仅当它们在$G$对应的边相邻（有公共顶点）。

该定义也可以用图论的语言表述如下：设$G=(V,E)$，那么$L(G)=(E,{\tilde {E}})$，且$(e_{1},e_{2})\in {\tilde {E}}\iff e_{1}\cap e_{2}\neq \emptyset$。

例子

下面的例子演示了由原图生成线图的流程。

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  原图
• 
  制作线图的过程
• 
  结果

性质

有些图总不是线图

由原图转移过来的性质

根据线图的定义，若性质／概念P仅取决于原图$G$中边的邻接性，那么P便可以转移（或者说对偶）到线图$L(G)$上去变成性质／概念P'，刻画线图顶点的邻接属性。例如，图$G$中的一个匹配指的是图中一组不相交的边，把这一概念平移到线图上去，就等价于线图的一组不相邻的顶点——用术语来说即线图上的一个独立集。

下面就列举了原图和线图之间的若干联系：

• 若原图是连通的，线图也是。
• 若两个图同构，那么它们的线图也同构。
• 若$G$的顶点数和边数分别为$n$和$m$，那么$L(G)$的顶点数和边数分别是$m$和${\textstyle \sum _{v}{\binom {\deg(v)}{2}}}$。
• $\chi _{E}(G)=\chi _{V}(L(G))$，即原图的边色数等于线图的点色数。
• $G$中的一个匹配对应了$L(G)$中的一个独立集，且其大小相等。于是，$G$中最大匹配的大小等于$L(G)$最大独立集的大小。借助这一关系，可以通过求解后者来求解前者，但反之不总是可行，因为并非所有图都能表示为某个$G$的线图。在计算机科学中，最大匹配问题和最大独立集问题是两个重要的问题。前者已经被高效解决（Edmonds' Blossom Algorithm）；而后者则是NP完全问题，被普遍认为无法高效求解。
• 若$G$存在欧拉回路，则$L(G)$存在哈密顿回路，但反之不然。

惠特尼同构定理

惠特尼同构定理阐述了以下事实：设有连通图$G_{1}$和$G_{2}$且它们均不是三角形$K_{3}$或爪形$K_{1,3}$。如果$L(G_{1})\cong L(G_{2})$，那么$G_{1}\cong G_{2}$。也就是说，除了极特殊的情形，图$G$的结构可以由线图$L(G)$的结构中唯一地恢复出来。

其它性质

任何的线图都是无爪的，亦即不包含$K_{1,3}$作为导出子图。因此，任意含有偶数个顶点的连通线图都存在完美匹配。

线图$L(G)$的邻接矩阵$A_{m\times m}$的全部特征值都不小于-2。这是因为$A=J^{\operatorname {T} }J-2I$，其中$J_{n\times m}$是原图$G$的关联矩阵（incidence matrix）。又由于矩阵$J^{\operatorname {T} }J$是半正定的，所以$A$的任何特征值$\lambda$均满足$\lambda +2\geq 0$。

等价刻画

九种排除在线图之外的导出子图

Beineke给出了线图的一种等价刻画：$H$是某图的线图当且仅当$H$不包含九种类型的导出子图（见右图）。

如果$H$的最小度至少为5，那么只有左边一列和右边一列是必要的。换言之，此时，$H$是某图的线图当且仅当$H$不包含六种类型的导出子图（见右图的左边一列和右边一列）。