光线转换矩阵分析

光线转换矩阵分析(又称ABCD矩阵分析)，是用于某些光学系统，特别是激光领域的一种光线追踪技术。它包含一个描述光学系统的光线转化矩阵(ray transfer matrix)，这个矩阵与一代表光线的向量相乘之后，可以得到光线在该系统中的运行轨迹。这类的分析也被应用于加速器物理(accelerator physics)中，用以追踪通过粒子加速器中磁铁装置的粒子，详情请见电子光学。

以下介绍的技术使用了近轴逼近法，此逼近法意即假设所有光线相对于系统的光轴(optical axis)都处于小角度(θ为径度)、短距离(x)。^[1]

定义

光线追踪技术以两个平面为参考面，分别为输入平面与输出平面，这两个平面均垂直于系统的光轴。此外，为了理论的一般性，我们定义系统的光轴即直角坐标系的z轴。一光线与输入面呈θ₁，从距离光轴 x₁ 的入射面进入系统，并在距光轴的x₂的输出面呈θ₂射出，而n₁, n₂分别是在输入面与输出面中介质的折射率。

这些参数可表成下列关系式:

{\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}

当

A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}

且

C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}

这个关系式以光线转化矩阵(RTM, M)将光线向量与输入、输出面互相连结，M代表的是在这两个平面之间的光学系统。根据折射定律与几何关系，可以证明RTM行列式值(determinant)即是两个折射率的比值。

\det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}

因此，若是输入面与输出面在同一个介质中，或是在具有同一个折射率的不同介质中，M等于1，相似的技术可以应用于电路学上，见二埠网络。

范例

若两个面中有空间存在，光线转换矩阵可以表示成:

\mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}

其中d表示两参考平面的距离(沿着光轴测量)，此矩阵有下列关系:

{\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}

两光线各别的参数可表示如下:

{\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}

另一个范例为一薄透镜，其光线转画矩阵为:

\mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}

其中f为透镜的焦距。若遇表示依复合光学系统，光线转化矩阵可以交互相乘，形成一总括光线转化矩阵，以下范例唯为一长度为d的空间与薄透镜的复合系统:

\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}

注意，矩阵的乘法并没有交换率，因此下面的系统先为一薄透镜，后为一空间。

\mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}

因此，矩阵必须照顺序排好。不同的矩阵可以代表不同折射率的介质，或者是面镜的反射等等。

光线转化矩阵表格

简易的光学元素

成分元素	矩阵	注解
传输在具有常数折射率的空间	${\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$	d为传输距离
折射在平坦的表面	${\begin{bmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	n₁ 为入射时的环境折射率 n₂ 为折射后的环境折射率
折射在曲面	${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	R 为曲率半径，当 R > 0 为凸面 n₁ 为入射时的环境折射率 n₂ 为折射后的环境折射率
从平坦面镜反射	${\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$
从曲面镜反射	${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{bmatrix}}$	R 为曲率半径，当 R > 0 为凹面，可用于近轴近似法
薄透镜	${\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}$	f 为透镜的焦距，当 f > 0 为凸透镜唯有在焦距远大于透镜厚度时成立
厚透镜	${\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}$	n₁ 为透镜外的折射率 n₂ 为透镜内的折射率 R₁ 为第一表面的曲率半径 R₂ 为第二表面的曲率半径 t 为透镜的中心厚度
单直角棱镜	${\begin{bmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{bmatrix}}$	k = (cos $\psi$ /cos $\phi$ ) 是beam expansion的因素, 当 $\phi$ 为入射角, $\psi$ 为折射角, d 为棱镜的路径长, n 为棱镜的折射率。这个举证应用在orthogonal beam exit。

共振稳定性

RTM在模拟光学共振系统的时候特别有用，像是激光。在最简单的情况下由两个完全相同，具100%反射率、曲率半径R相互距离为d的面镜组成。为了达到光学追踪的目的，上述的系统可以等同于由一系列焦距为R/2，彼此间的距离为d的薄透镜所组成的系统，此结构又被称为a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系统每一个波导下的RTM如下:

\mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}

光学转化矩阵分析此时就可以决定一个波导的稳定性(等同于共振器)，意即RTM可以找出光可以周期性地再聚焦，并待在波导内的状况。我们可以找到系统中所有光的”eigenrays”，入射向量在每个mentioned sections的波导乘上一个实数或是复数的 λ 将会等于1。使得：

\mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}

此为一本征方程式：

\left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0

其中I为一2x2单位矩阵。我们可以进一步计算此转化矩阵的本征值：

\operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0

可导出以下特征方程式：

\lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0

其中

\operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}

是RTM的轨迹，且

\operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1

是RTM行列式值的倒数，带入消去后我们可以得到:

\lambda ^{2}-2g\lambda +1=0

其中

g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}

是稳定参数。本征值是本征方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

\lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,

现在，考虑一个光线通过系统N次:

{\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}

如果此波导是稳定的，所有的光都不会被随意的引道到偏离主轴很远的地方，意即λN必须是有限的。吾人假设g2>1，则两本征值均为实数，又因为λ*λ- = 1 ，因此其中一个的绝对值必须大于1，这也暗示了代表本征向量的光线不会收敛。因此在依稳定的波导中，g2≤1，以及本征值可以用复数形式表示:

\lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }

以g=cos(φ)表示。

假设 $g^{2}<1$ 且 $r_{+}$ , $r_{-}$ 是 $\lambda _{+}$ , $\lambda _{-}$ 的本征向量，此两向量横跨所有向量空间，因为他们是正交因此输入的向量可以被表示成:

c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}

,

$c_{+}$ and $c_{-}$ 为某常数

再通过N个波导后，输出则为:

\mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}

这代表一个周期函数。

高斯光束的光线转化矩阵

光线转化矩阵的建立也可以用于描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波长为λ0，曲率半径为R，光点大小w，折射率n，我们可以定义出一复数光束参数(complex beam parameter) q:

{\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}

此光束可以转移至一具有下列光线转化矩阵的光学系统:

{\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}

其中k为标准化常数，此常数可以让光束向量的第二个成分为1，利用矩阵乘法:

q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,

且

1=k(Cq_{1}+D)\

由上式除以下式可得:

q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}

此方程式常以倒数形式表示:

{1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}

范例：Free space

假设一光束通过一距离为d的空间，光线转化矩阵为: ${\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}$ 因此

q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d

这表示，通过一空间会增加半径d。

范例：薄透镜

假设一光束通过一焦距为f的薄透镜，光线转化矩阵为:

{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}

因此

q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}

{\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}

再次强调，只有q的实部会被影响，曲率半径会减少1/f。

另见

参考文献

^ An exact method for tracing meridional rays is available here （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Section 1.4, pp. 26 – 36.

Gerrard, Anthony; Burch, James M. Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. 1994 [2015-01-22]. ISBN 9780486680446. （原始内容存档于2015-01-22）.

F. J. Duarte. Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 2003. Chapter 6.

外部链接

Thick lenses (Matrix methods)（页面存档备份，存于互联网档案馆）
ABCD Matrices Tutorial（页面存档备份，存于互联网档案馆） Provides an example for a system matrix of an entire system.
ABCD Calculator（页面存档备份，存于互联网档案馆） An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
Simple Optical Designer (Android App)（页面存档备份，存于互联网档案馆） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.

[1] An exact method for tracing meridional rays is available here （页面存档备份，存于互联网档案馆）.

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