中心 (群论)

在抽象代数中，群$G$的中心$Z\left(G\right)$是所有在$G$中和$G$的所有元素可交换的元素的集合，也就是：

$Z\left(G\right)=\left\{z\in G\mid gz=zg,\forall g\in G\right\}$

注意$Z\left(G\right)$是一个$G$的子群：若$x$和$y$在$Z\left(G\right)$中，则$\left(xy\right)g=x\left(yg\right)=\left(xg\right)y=x\left(gy\right)=\left(gx\right)y=g\left(xy\right)\quad \forall g\in G$，故$xy$也在$Z\left(G\right)$中。同样的论证对于逆操作也成立。

而且，$Z\left(G\right)$是一个$G$的可交换子群，也是$G$的正规子群，甚至是$G$的严格特征子群，但不总是完全特征的。

$G$的中心是整个$G$当且仅当$G$是可交换群。另一个极端是，若$Z\left(G\right)$是平凡群，群可以是无中心的。

考虑映射$\Phi :G\rightarrow \operatorname {Aut} \left(G\right)$，这是到$G$的自同构群的映射，定义为：

$G$中每个元素$G$在$\Phi$下的像是自同构$h\longmapsto ghg^{-1}$。$\Phi$的核是$G$的中心，而$\Phi$的像称为$G$的内自同构群，记为$\operatorname {Inn} \left(G\right)$，按照第一同构定理：$G/Z\left(G\right)\cong \operatorname {Inn} \left(G\right)$。

例子

阿贝尔群G的中心即为其自身G。

正交群$O\left(n\right)$的中心是$\left\{I,-I\right\}$。

参见

• 中心 (代数)
• 中心化子和正规化子
• 共轭类