范德蒙矩阵

在线性代数中，范德蒙矩阵的命名来自亚历山大‑泰奥菲尔·范德蒙的名字，范德蒙矩阵是一个各列呈现出几何级数关系的矩阵，例如：

V={\begin{bmatrix}1&\alpha _{1}&\alpha _{1}^{2}&\dots &\alpha _{1}^{n-1}\\1&\alpha _{2}&\alpha _{2}^{2}&\dots &\alpha _{2}^{n-1}\\1&\alpha _{3}&\alpha _{3}^{2}&\dots &\alpha _{3}^{n-1}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\1&\alpha _{m}&\alpha _{m}^{2}&\dots &\alpha _{m}^{n-1}\\\end{bmatrix}}

或以第 $i$ 行第 $j$ 列的关系写作：

V_{i,j}=\alpha _{i}^{j-1}

（部分作者将上述矩阵写成转置后的形式，也就是一整排的 1 不列在左边，而是列在上面。）

n阶范德蒙矩阵为方块矩阵，其行列式可以表示为：

\det(V)=\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})

$\det(V)$ 不为零当且仅当 $\alpha _{i}$ 各不相同。

上述行列式又称作判别式。

\det(V)=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},

可以把公式改写为

\prod _{1\leq i<j\leq n}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\sum _{\sigma \in S_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\,\alpha _{1}^{\sigma (1)-1}\cdots \alpha _{n}^{\sigma (n)-1},

S_n 指的是 {1, 2, ..., n} 的排列集，sgn(σ) 指的是排列 σ 的奇偶性。

若 m≤n，则矩阵 V 有最大的秩 rank (m)。

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