统计学中,莫兰指数Moran's I)是Patrick Alfred Pierce Moran提出的一种空间自相关度量。[1][2]空间自相关即空间中邻近的位置之间存在相关性。空间自相关比一维自相关更复杂,因为空间相关性是多维的(即空间的二维或三维)和多方向的。

图中白色和黑色方块完全分散,此时依据四邻规则计算的莫兰指数为-1。如果白色方块集中在棋盘的一半,黑色方块集中在另一半,随着方块数增加,莫兰指数会逼近+1。方块颜色随机排列时,莫兰指数会接近0。

全局莫兰指数

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全局莫兰指数(I)是对空间数据的整体聚集的度量,其定义如下:

 

其中:

  •  是空间单元的个数;
  •   是两个空间单元的索引编号;
  •  是相关变量;  的平均值;
  •  是空间单元  之间关系的空间权重,主对角线上取值为0(即 );
  •  是所有 的总和。

定义空间权重矩阵

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I的值可能很大程度上依赖空间权重矩阵{wij}中的假设。之所以需要该矩阵,是因为在处理空间自相关和建立空间相互作用模型时,需要约束予以考虑的邻居的数量。这与托布勒的地理学第一定律有关,该定律指出,所有事物都是相关的,但更接近的事物更相关——换句话说,该定律表明空间中存在距离衰减,尽管所有观测值都对其他观测值有影响,但在某个距离阈值后,其影响已经微弱得可以忽略不计。

其思路是构建一个矩阵,以准确地反映对讨论的特定空间现象的假设。一种常见的做法是,如果两个空间单元是邻居,则权重为1,否则为0(但“邻居”的定义可能会有所不同)。另一种常见的方法可能是给k个最近的邻居赋予1的权重,其他为0。还有一种方法是使用距离衰减函数来分配权重。有时,共边的长度用于为邻居分配不同的权重。空间权重矩阵的选择应以研究的相关现象的理论为指导。I的值对权重非常敏感,并且会影响对现象的结论,尤其是在使用距离时。

期望

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在不存在空间自相关的零假设下,莫兰指数的期望为:

 

对应该期望的零分布是 输入遵循随机均匀地选取的排列 

在大样本量下(即N趋于无穷大时),期望接近于零。

其方差等于

 

其中

 
 
 
 
 [3]

I的值通常在−1到+1之间。显着低于-1/(N-1)的值表示空间负相关(分散),显着高于-1/(N-1)的值表示空间正相关(集聚)。对于统计假设检验,莫兰指数的值可以转换为Z-分数

莫兰指数与吉尔里C数英语Geary's C成负相关,但并不完全等同。莫兰指数是全局空间自相关的度量,而吉尔里C数对局部空间自相关更敏感。

局部莫兰指数

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全局空间自相关分析只能得到一个概括整个研究区域的一个统计量。换句话说,全局分析假设空间是相对均质的。若该假设不成立,那么只有一个统计数据是意义不大,因为统计数据在空间上应该是不同的。

而且,即使不存在全局自相关或聚类,我们仍然可能通过局部空间自相关分析,在局部层面上找到聚类。“空间关联的局部指标”(local indicators of spatial association,LISA)利用莫兰指数是叉积总和这一事实,通过计算每个空间单元的局部莫兰指数并评估每个Ii的统计显著性来评估这些个体单元的聚类。局部莫兰指数最早由卢卡·安瑟林英语Luc Anselin于1995年提出。[4]由全局莫兰指数的等式可导出:

 

其中:

 

因此,

 

I为衡量全局空间自相关性的全局莫兰指数,Ii为局部莫兰指数,N为地图中分析单元的总数。

空间关联的局部指标可以用GeoDa软件来计算,其中就包含了局部莫兰指数的计算功能。[5]

应用

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莫兰指数广泛应用于地理学地理信息科学领域。例子有:

  • 健康变量的地理差异分析[6]
  • 表征公共水中浓度对心理健康的影响[7]
  • 方言学中,用来衡量区域语言变异的显著性[8]
  • 地貌学研究中,用来定义有意义的地形分割的目标函数[9]

参见

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参考文献

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  1. ^ Moran, P. A. P. Notes on Continuous Stochastic Phenomena. Biometrika. 1950, 37 (1): 17–23. JSTOR 2332142. PMID 15420245. doi:10.2307/2332142. 
  2. ^ Li, Hongfei; Calder, Catherine A.; Cressie, Noel. Beyond Moran's I: Testing for Spatial Dependence Based on the Spatial Autoregressive Model. Geographical Analysis. 2007, 39 (4): 357–375. doi:10.1111/j.1538-4632.2007.00708.x. 
  3. ^ Cliff and Ord (1981), Spatial Processes, London
  4. ^ Anselin, Luc. Local Indicators of Spatial Association—LISA. Geographical Analysis. 1995, 27 (2): 93–115 [2022-06-28]. doi:10.1111/j.1538-4632.1995.tb00338.x. (原始内容存档于2022-07-12). 
  5. ^ Anselin, Luc. Exploring Spatial Data with GeoDaTM: A Workbook (PDF). Spatial Analysis Laboratory: 138. 2005 [2022-06-28]. (原始内容 (PDF)存档于2021-06-14). 
  6. ^ Getis, Arthur. The Analysis of Spatial Association by Use of Distance Statistics. Geographical Analysis. 3 Sep 2010, 24 (3): 189–206. doi:10.1111/j.1538-4632.1992.tb00261.x . 
  7. ^ Helbich, M; Leitner, M; Kapusta, ND. Geospatial examination of lithium in drinking water and suicide mortality. Int J Health Geogr. 2012, 11 (1): 19. PMC 3441892 . PMID 22695110. doi:10.1186/1476-072X-11-19. 
  8. ^ Grieve, Jack. A regional analysis of contraction rate in written Standard American English. International Journal of Corpus Linguistics. 2011, 16 (4): 514–546. doi:10.1075/ijcl.16.4.04gri. 
  9. ^ Alvioli, M.; Marchesini, I.; Reichenbach, P.; Rossi, M.; Ardizzone, F.; Fiorucci, F.; Guzzetti, F. Automatic delineation of geomorphological slope units with r.slopeunits v1.0 and their optimization for landslide susceptibility modeling. Geoscientific Model Development. 2016, 9: 3975–3991. doi:10.5194/gmd-9-3975-2016 .