莱默的欧拉函数问题

在数学上,莱默的欧拉函数问题(Lehmer's totient problem)指的是是否有合成数,其欧拉函数的值可整除。这问题迄今仍未得证。

已知,当且仅当是质数,故对于任何质数而言,有,且可整除;而德里克·亨利·莱默猜想说,没有任何合成数,使得整除[1]

历史

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  • 莱默证明了说如果有这样的合成数 ,那么 必然是奇数、必然是无平方因子数,且必然有至少七个不同的质因数( )。此外这样的数必然是个卡迈克尔数
  • 1980年,Cohen和Hagis证明了说,若这样的 存在,则  有至少14个不同的质因数( )。[2]
  • 1988年,Hagis证明了说若这样的 存在且可被3除尽,那么  有至少298848个不同的质因数( )。[3]这结果之后为Burcsi、Czirbusz和Farkas改进,他们证明了说若的 存在且可被3除尽,那么  有至少40000000个不同的质因数( )。[4]
  • 一个2011年的结果显示,这问题小于 的解的数量至多有 个。[5]

参考资料

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  1. ^ Lehmer (1932)
  2. ^ Sándor et al (2006) p.23
  3. ^ Guy (2004) p.142
  4. ^ Burcsi, P. , Czirbusz,S., Farkas, G. Computational investigation of Lehmer's totient problem. Ann. Univ. Sci. Budapest. Sect. Comput. 2011, 35: 43-49. 
  5. ^ Luca and Pomerance (2011)