复对数

复对数（英语：Complex logarithm）为自然对数延伸到非零复数的函数，是以下两个定义中的一个，这两个定义彼此也密切相关：

• 非零复数$z$的复对数，定义为可以使$e^{w}=z$的任意复数$w$。此复数$w$可以表示为$\log z$。若$z$以极坐标表示为$z=re^{i\theta }$，其中$r$和$\theta$是实数，$r>0$，则$\ln r+i\theta$是$z$的一个复对数，$z$的所有复对数会是$\ln r+i\left(\theta +2\pi k\right)$，其中的$k$为整数。对数会在复数平面上在一条垂直线上等距排列。
• 复数值函数$\log \colon U\to \mathbb {C}$，定义在$\mathbb {C} ^{*}$集合中非零复数中的一个子集合$U$，满足$e^{\log z}=z$，针对$U$里的所有$z$。这样的复数函数类似实数的自然对数函数$\ln \colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R}$，后者是实数指数函数的反函数，因此针对所有的正实数x，可以满足e^{ln x} = x。复对数函数可以用有关实数值函数显式公式来建立，用$1/z$的积分，或是用解析延拓的方式建立。

复对数的一个分支。其色相表示复对数的辐角（极坐标下相对原点的角度），其颜色的饱和度及亮度表示复对数的绝对值。图片的档案页中有列出其颜色对应的数值

没有在整个复数域$\mathbb {C} ^{*}$均有定义的连续复指数函数。处理此问题的方式包括分支、相关的黎曼曲面、以及复数指数函数的部分反函数（partial inverse）。主值（principal value）定义了特定的复指数函数$\operatorname {Log} \colon \mathbb {C} ^{*}\to \mathbb {C}$，除了在负实数轴之外都连续。是不考虑负实数和0的复平面。这是（实数）自然对数的解析延拓。

书目

• Ahlfors, Lars V. Complex Analysis 2nd. McGraw-Hill. 1966 [2024-01-13]. （原始内容存档于2024-01-13）. 
• Sarason, Donald. Complex Function Theory 2nd. American Mathematical Society. 2007. 

相关条目

• 对数
• 离散对数
• 指数函数
• 辐角
• 反三角函数
• 幂
• 分支切割
• 共形映射
• 解析延拓