辐射转移(英语:radiative transfer)是以电磁辐射形式进行能量转移的物理现象。经由介质传播的辐射会受到吸收发射散射的影响。辐射转移方程式就是以数学方式描述这些交互作用。描述辐射转移现象的方程式称为辐射转移方程式radiative transfer equationRTE),它被广泛应用在光学天文物理学大气科学遥测上。辐射转移方程式在简单状况下存在解析解,但在实际状况下常包含复杂的多重散射效应,此时必须使用数值方式求解。

辐射场

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辐射转移现象所描述的对象为辐射场(radiation field),而辐射场通常表达成谱辐射率英语Spectral radiancespectral radiance[注 1]关于位置  、方向   和时间   的的函数,写成  [1]

谱辐射率   的定义如下。考虑一个位于   的单位面积  ,如果在单位时间   内,有辐射能量   从单位立体角   流经单位面积  ,且频率介于    这个区间之内(辐射的极化在这里被忽略),则

 

其中   是辐射的单位向量   和单位面积法向的夹角。谱辐射率的单位是以能量/(时间⋅面积⋅立体角⋅频率)表示,在MKS单位制中,就是W·m-2·sr-1·Hz-1

当一个区域内所有的点在所有方向上某一时刻的   都被指定,就构成一个辐射场。另外,谱辐射率为辐射度量学名词,在传统天文学领域常常称为比强度specific intensity)。

辐射转移方程式

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辐射转移方程式是谱辐射率的微分方程式。先考虑一维的情形,令   是沿着辐射路径传播的距离;假如辐射通过真空,则它的谱辐射率不随着辐射传递而改变,于是有

 

现在考虑辐射通介质,则有三种交互作用会导致辐射转移:

  • 因为吸收absorption)而失去能量
  • 因为发射emission)而获得能量
  • 因为散射scattering)而重新分配能量

所以辐射转移方程式可写为

 

此处   是物质的谱发射系数[注 2]  是物质的谱衰减系数[注 3],而且可写成  ,下标里的 a 与 s 分别表示与吸收和散射的成分。在天文物理学中,常引入光深度   的概念;对上式使用   进行变量变换,可得到

 

其中  源函数英语Source function[2]。当所有频率   的源函数都等于谱辐射率的时候,可得到  ,仿佛辐射是通过真空一样,这就是辐射平衡radiative equilibrium)条件。

如果考虑三维情形,辐射转移方程式可写为[3][4]

 

其中  光速。等式左边的微分算子用法向导数取代了对   的导数,还纳入了   的时间导数;等式右边第三项考量的是从四面八方散射而来的辐射,故取   的角度平均。

辐射转移方程式的解

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求解辐射转移方程式是非常耗力的工作。不过可以依据各种形式的吸收和发射系数,进行适当简化。譬如说,如果将吸收和散射忽略,只考虑物质的发射,则一维辐射转移方程式的通解可以写成:

 

这里的   是两个位置    中间介质的光深度

 

局部热力平衡

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一个特别有用的辐射转移方程式简化是局部热力平衡local thermodynamic equilibriumLTE)状态。这个状态中,介质包含许多“局部”达到热平衡的粒子,因此有一个可定义的温度。但辐射场并非处在平衡状态,并且是由大量存在的粒子驱动。在局部热力平衡的介质中,发射系数和吸收系数只是温度和密度函数,而且两者的关系式为

 

其中   是温度   时的黑体辐射的谱辐射率(即普朗克黑体辐射定律)。此时,辐射转移方程式的解为

 

了解介质的温度和密度剖面曲线之后,就足以计算辐射转移方程式的解。

爱丁顿近似

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爱丁顿近似(Eddington approximation)是辐射转移方程式的一种近似解,适用于气象学中的平面平行大气(plane-parallel atmosphere)模型及天文学中的灰色大气英语Grey atmosphere模型。在这些模型里,大气的各种热力性质呈现层状(slab-like)分布,换句话说,它们只会在垂直于层状大气的方向上(定义为   轴)发生变化,而不会在平行方向上出现变化。辐射路径   上的变化量与   轴上的变化量的关系为[5]

 

我们稍后会解说定义   的作用。由于考虑的是平面平行大气,所以我们预期谱辐射率也只是    的线性函数。使用变量变换   ,代入一维辐射转移方程式,则有

 

另一方面,我们定义谱辐射率   关于   的第  动差[6][7][注 4]

 

之所以引入动差的概念,是因为在平面平行大气中,有许多辐射相关的物理量是   的函数,只要使用变量变换   ,就可以在角度积分中简化算式。具体来说,假设   是任意   的函数,则   对于所有方向的立体角积分为[8]

 

  关于   的前几阶动差是

 
 
 

此处   是辐射强度的角度平均(angle-averaged intensity),它恰好与能量密度   成正比;  是爱丁顿通量(Eddington flux),与辐射通量英语Radiative flux   成正比;  也与辐射压   成正比。

所谓的爱丁顿近似就是将平面平行大气中的辐射场视为“近似于各向同性[9]、但是有关于   的一阶异向性,简单来说,就是假定   关于  泰勒级数只保留到一次项,于是   成为   线性函数[10]

 

将这个函数代入上述动差的公式,可以得到

 

于是得到爱丁顿近似的重要结果:

 

这等价于各项同性辐射场的重要条件  ,不过差别在于爱丁顿近似适用于稍微具有异向性的辐射场。爱丁顿近似是由天文学家亚瑟·爱丁顿在研究恒星大气时所提出[11][6]

爱丁顿近似与双流近似英语two-stream approximation不同。双流近似是假设空间分为两块区域,辐射在其中一边固定以某方向传播,在另一边固定以另一方向传播。

参见

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注脚

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  1. ^ 对于辐射相关的物理量而言,“谱”字(spectral)通常意味着该物理量是关于波长频率的导数;如果是对频率微分,记号通常会加一个下标  ;如果是对波长微分,记号通常会加一个下标  
  2. ^ MKS制单位为W·m−2·sr−1·Hz−1
  3. ^ MKS制单位为m−1,又常被称为不透明度opacity)。
  4. ^ 为了方便起见,以下辐射相关物理量中的下标   被省略了。

延伸阅读

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参考资料

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  1. ^ Choudhuri, Arnab Rai. Astrophysics for Physicists (PDF). Cambridge: Cambridge University Press. 2010: 24 [2024-01-09]. ISBN 978-0-511-67742-7. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09) (英语). 
  2. ^ Dullemond, C.P. Chapter 3: Formal transfer equation (PDF). Radiative transfer in astrophysics (Master/PhD Course). 2012-07-28 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2023-06-01). 
  3. ^ 放射輸送. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-06-01) (日语). 
  4. ^ McLinden, Chris. The Equation of Radiative Transfer. 1999-07-22. (原始内容存档于2008-03-15) (英语). 
  5. ^ Choudhuri 2010,第36页.
  6. ^ 6.0 6.1 Huang, S.-S. On the Eddington Approximation. Astrophysical Journal: 841. Bibcode:1968ApJ...152..841H  (英语). 
  7. ^ Owocki, Stan. PHYS-633: Introduction to Stellar Astrophysics (PDF). The Bartol Research Institute. 2010-10-31 [2024-01-09]. (原始内容存档 (PDF)于2024-01-09). 
  8. ^ Choudhuri 2010,第38页.
  9. ^ エディントン近似. 天文学辞典. 日本天文学会. (原始内容存档于2019-03-13) (日语). 
  10. ^ Rybicki, George B.; Lightman, Alan P. Radiative Process in Astrophysics (PDF). Wiley-VCH. 2004: 42 [1979] [2024-01-09]. ISBN 978-0-471-82759-7. (原始内容存档 (PDF)于2023-11-07) (英语). 
  11. ^ Eddington, A.S. The Internal Constitution of the Stars. Nature. 1920, 106: 14–20. doi:10.1038/106014a0 (英语).