在复分析 中,辐角原理 (Argument principle )或称柯西辐角原理 (Cauchy's argument principle )说如果
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
是在某个围道
C
{\displaystyle C}
上以及内部一个亚纯函数 ,且
f
{\displaystyle f}
在
C
{\displaystyle C}
上没有零点 或极点 ,则下列公式成立
围道
C
{\displaystyle C}
(黑色),
f
{\displaystyle f}
的零点(蓝色)以及
f
{\displaystyle f}
的极点(红色)。
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
N
−
P
)
{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
这里
N
{\displaystyle N}
与
P
{\displaystyle P}
分别表示
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
在围道
C
{\displaystyle C}
内部的零点与极点个数,每个零点计重数 ,极点计阶数 。定理的陈述假设围道
C
{\displaystyle C}
是简单的,即没有自交,以及它是逆时针方向定向的。
更一般地,假设
C
{\displaystyle C}
是一条曲线,逆时针方向定向,在复平面 中一个开集
Ω
{\displaystyle \Omega }
中可缩 为一点。对每个
z
∈
Ω
{\displaystyle z\in \Omega }
,令
n
(
C
,
z
)
{\displaystyle n(C,z)}
是
C
{\displaystyle C}
绕点
z
{\displaystyle z}
的卷绕数 。则
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
∑
a
n
(
C
,
a
)
−
∑
b
n
(
C
,
b
)
)
,
{\displaystyle \oint _{C}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=2\pi \mathrm {i} \left(\sum _{a}n(C,a)-\sum _{b}n(C,b)\right),}
这里第一个求和对
f
{\displaystyle f}
所有零点
a
{\displaystyle a}
进行并计重数,第二个求和在
f
{\displaystyle f}
的所有极点
b
{\displaystyle b}
上进行并计重数。
假设
C
{\displaystyle C}
是一个以原点为中心的闭围道,通过考虑
f
(
z
)
{\displaystyle f(z)}
关于
0
{\displaystyle 0}
的卷绕数 可得出一些推论。我们看到
f
′
(
z
)
f
(
z
)
{\displaystyle {\frac {f'(z)}{f(z)}}}
在
C
{\displaystyle C}
上的积分是
log
f
(
z
)
{\displaystyle \log f(z)}
值的变化。因为
C
{\displaystyle C}
是闭的我们只需考虑
arg
f
(
z
)
⋅
i
{\displaystyle {\arg f(z)}\cdot \mathrm {i} }
在
C
{\displaystyle C}
上的变化,它将是
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
的某个整数倍(但可能绕原点卷多圈)。但从辐角原理
∮
C
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
2
π
i
(
N
−
P
)
{\displaystyle \oint _{C}{f'(z) \over f(z)}\,dz=2\pi \mathrm {i} (N-P)}
约去因子
2
π
i
{\displaystyle 2\pi \mathrm {i} }
,我们得到
N
−
P
=
I
(
C
,
0
)
{\displaystyle N-P=I(C,0)}
这里
I
(
C
,
0
)
{\displaystyle I(C,0)}
表示
f
{\displaystyle f}
在
C
{\displaystyle C}
上关于
0
{\displaystyle 0}
的卷绕数 ,且有
I
(
C
,
0
)
=
∑
a
n
(
C
,
a
)
{\displaystyle I(C,0)=\sum _{a}n(C,a)}
,(这里的求和对
f
{\displaystyle f}
所有零点
a
{\displaystyle a}
进行并计重数)。
一个推论是更广泛的定理,在同样的假设下,如果
g
{\displaystyle g}
是
Ω
{\displaystyle \Omega }
中一个解析函数,则
1
2
π
i
∮
C
g
(
z
)
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
∑
a
n
(
C
,
a
)
g
(
a
)
−
∑
b
n
(
C
,
b
)
g
(
b
)
.
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}g(z){\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=\sum _{a}n(C,a)g(a)-\sum _{b}n(C,b)g(b).}
例如,如果
f
{\displaystyle f}
是以一个简单围道
C
{\displaystyle C}
内部
z
1
,
…
,
z
p
{\displaystyle z_{1},\dots ,z_{p}}
为零点的多项式 ,以及
g
)
z
)
=
z
k
{\displaystyle g)z)=z^{k}}
,则
1
2
π
i
∮
C
z
k
f
′
(
z
)
f
(
z
)
d
z
=
z
1
k
+
z
2
k
+
⋯
+
z
p
k
,
{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}z^{k}{\frac {f'(z)}{f(z)}}\,dz=z_{1}^{k}+z_{2}^{k}+\dots +z_{p}^{k},}
是
f
{\displaystyle f}
的根的次方和对称多项式 。
另一个推论是如果我们计算复积分:
∮
C
f
(
z
)
g
′
(
z
)
g
(
z
)
d
z
,
{\displaystyle \oint _{C}f(z){g'(z) \over g(z)}\,dz,}
对一个合适的
f
{\displaystyle f}
,我们有阿贝尔-普兰纳公式 :
∑
n
=
0
∞
f
(
n
)
−
∫
0
∞
f
(
x
)
d
x
=
f
(
0
)
/
2
+
i
∫
0
∞
f
(
i
t
)
−
f
(
−
i
t
)
e
2
π
t
−
1
d
t
,
{\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }f(n)-\int _{0}^{\infty }f(x)\,dx=f(0)/2+i\int _{0}^{\infty }{\frac {f(it)-f(-it)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt,}
这给出了一个离散和式与它的积分之间的关系。
按照弗兰克·史密西斯 一书(Cauchy and the Creation of Complex Function Theory , Cambridge University Press, 1997)的说法,在奥古斯丁·路易·柯西 从法国到都灵 (当时皮德蒙特-萨丁尼亚王国 的首都)的自我放逐途中,柯西于1831年11月2日提出了和上面类似的一个定理(见177页)。但是根据此书,只提到了零点,没有极点。柯西的这个定理在许多年后的1974年才以手写本发表,故很难阅读。柯西逝世两年前的1855年发表的一篇论文中,零点与极点都讨论了。定理 1 只涉及了零点。柯西1855年论文中的定理 2 说“一个单复变量函数 Z 的对数计量(compteurs logarithmiques ,相当于现代教材中的对数留数)等于 Z 与 1/Z 根的个数之差(相当于现代教材中的函数 Z 的零点与极点)。从而现代“辐角原理”可在1855年柯西论文中作为一个定理发现。
反馈控制理论的现代书籍中频繁用到辐角原理,将其作为奈奎斯特稳定性判据 的理论基础。哈里·奈奎斯特 1932年原理的论文(H. Nyquist, "Regeneration theory", Bell System Technical Journal, vol. 11, pp. 126-147, 1932)用一种相当笨拙与原始的方法得出奈奎斯特稳定性判据。在这篇论文中,奈奎斯特完全没有提到柯西的名字。后来,Leroy MacColl (Fundamental theory of servomechanisms, 1945) 与 Hendrik Bode (Network analysis and feedback amplifier design, 1945) 都从辐角原理得到了奈奎斯特稳定性判据。MacColl (Bell Laboratories) 将辐角原理称为柯西定理。这样辐角原理在纯粹数学与控制工程学中都有重大影响。现在,辐角原理可在复分析 或控制工程学 的现代教材中都可以找到。