迹不等式

在数学中，有很多关于希尔伯特空间上的矩阵和线性算子的不等式。而迹不等式就是与矩阵的迹有关的算子不等式。

基本定义

令H_n表示n×n埃尔米特矩阵空间， H_n⁺表示全体n×n半正定埃尔米特矩阵，H_n⁺⁺表示全体n×n正定埃尔米特矩阵。对于无限维希尔伯特空间上的算子，则需要迹类算子或埃尔米特算子，简单起见，此处我们只讨论矩阵。

对于任意实值函数 f 上的一个区间 I ⊂ℝ，通过在特征值上定义函数和相应投影P乘积，可以在任意特征值 λ 在I的算子A ∈ H_n上定义 矩阵函数 f(A) 如下：

$f(A)\equiv \sum _{j}f(\lambda _{j})P_{j}~,$ 假设有谱分解 $A=\sum _{j}\lambda _{j}P_{j}.$

算子的单调性

定义在区间 I ⊂ℝ上的函数 f: I → ℝ 是算子单调的 ，如果对于∀n，∀ A,B ∈ H_n 且特征值在 I中，有，

$A\geq B\Rightarrow f(A)\geq f(B),$

这里 A ≥ B 表示 A − B ≥ 0 ，即A − B是半正定的。 注意， f(A)=A² 不是 算子单调的!

算子的凹凸性

函数 $f:I\rightarrow \mathbb {R}$ 是 算子凸的 如果对任意 $n$ 和任意 A,B ∈ H_n 与特征值在 I的一对矩阵，在 $0<\lambda <1$时有

$f(\lambda A+(1-\lambda )B)\leq \lambda f(A)+(1-\lambda )f(B).$

由于 $A$ 和 $B$ 有的特征值在 I中，注意矩阵 $\lambda A+(1-\lambda )B$ 特征值也在 $I$中。

函数 $f$ 是 算子凹的 如果 $-f$ 是算子凸的，即上面关于 $f$ 不等式的符号反过来也成立。

联合凸性

定义在区间 $I,J\subset \mathbb {R}$ 上的函数$g:I\times J\rightarrow \mathbb {R}$是 联合凸的 ，如果对任意 $n$ 和任意$A_{1},A_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ 且特征值在 $I$ 中，和任意 $B_{1},B_{2}\in \mathbf {H} _{n}$ 且特征值在 $J$中，在 $0\leq \lambda \leq 1$ 时有

$g(\lambda A_{1}+(1-\lambda )A_{2},\lambda B_{1}+(1-\lambda )B_{2})\leq \lambda g(A_{1},B_{1})+(1-\lambda )g(A_{2},B_{2}).$

一个功能 是 如果 是联合凸，即不平等以上为 g 是相反的。

函数 g 是 算子联合凹的 如果 −g 是联合凸的，即上面关于 g 不等式符号反过来成立。

迹函数

给定函数 f:ℝ→ℝ，相应地可在 H_n 上定义 迹函数

$A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)=\sum _{j}f(\lambda _{j}),$

其中 A 有特征值 λ ，Tr表示算子的 迹 。

迹函数的凸性和单调性

设 f:ℝ→ℝ连续， n 是任意整数。 若 $t\mapsto f(t)$ 是单调递增的，则迹函数 $A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ 在 H_n上也是单调递增的。

类似，如果 $t\mapsto f(t)$ 是 凸的，则迹函数$A\mapsto \operatorname {Tr} f(A)$ 在 H_n上也是凸的，它是严格凸的如果 f 严格凸。

证明和讨论可参考 中。