选择函数

选择函数是一个函数f，其定义域X为一堆非空集合组成的集合，且对每一个在X内的S，均有f(S)∈S。换句话说，f会在X的每一集合中恰好选取一个元素。

选择公理（AC）断言，每一非空集合组成的集合都会有一选择函数。另一较弱的选择公理－可数选择公理（CC）则断言每一非空集合组成的可数集合都会有一选择函数。但无论如何，即使没有AC或CC，某些集合还是可以有选择函数。

• 若X为一非空集合组成的有限集合，则可以建立一选择函数，由每一个X的元素内选取一个元素。这只需要做有限多次的选择，所以不需要用到AC或CC。

• 若X的每一元素都是非空的良序集，则可以由每一个X的元素中选取其极小元。如此，或许需要有无限多次的选择，但我们有明确的选择规则，所以也不需要AC或CC。分辨“良序”和“可良序”是很重要的：当X的元素都是可良序的，那么我们需要选取每一元素的一良序，而这又可能需要无限多次随意的选择，因此需要有AC（或CC，若X为可数无限）。

• 若X的每一元素都是非空集合，且其联集$\bigcup X$为可良序的，则有可能可以选择一此联集的良序，且给X内每一元素诱导出相应的良序，如此一个选择函数就可以如前述例子一样地存在。在此一例子里，可以只做一次选择便决定X内每一元素的良序，故不需要AC或CC。（此一例子表示出若良序定理成立，即每一集合若皆可良序的话，则AC成立。其逆命题亦为真，但并不那么显然。）

参见

• 选择公理
• 可数选择公理
• 豪斯多夫悖论

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