重复度

重复度（multiplicity）是一数学名词，多重集中某一元素的重复度是指此元素在多重集中出现的次数。例如代数方程中特定根出现的次数。

重复度的标示可以方便多重集的计数，若元素考虑其重复度计数，重复度为1的会算为1个，重复度为2的会算为2个。若不考虑重复度，会以“计算相异元素个数”来说明。不过若是考虑非多重集的一般集合（每个元素最多只出现一次），没有重复度，计算元素个数时就不会特别强调“相异”。

质因数的重复度

在整数分解中

60 = 2 × 2 × 3 × 5

质因数2的重复度为2，质因数3, 5的重复度为1，因此60有四个质因数，但相关质因数只有3个。

多项式根的重复度

令F为一个域，p(x)为单变数的多项式，其系数为F的元素。若存在一多项式s(x)使得s(a) ≠ 0且p(x) = (x − a)^ks(x), a∈F，则a是重复度为k的p(x)的根。

若k = 1，则a称为单根（simple root），若k ≥ 2，则a称为重根（multiple root）。

例如，多项式 $p(x)=x^{3}+2x^{2}-7x+4$ 的根为1和−4，多项式可以写成 $p(x)=(x+4)(x-1)^{2}$ 。因此1为重根（重复度为2），−4为单根（重复度为1）。重复度可以表示为“在原方程中，特定根出现为几次？”

若某一多项式，特定根的重复度为n，其导数该特定根的重复度为n - 1。多项式的判别式为0当且仅当多项式有重根。

多项式在重根附近的特性

多项式p(x) = x³ + 2x² − 7x + 4的图，其根（零点）为-4和1。根-4为单根（重复度为1），多项式在-4附近穿过x轴。根2的重复度为2，是偶数，因此多项式未穿过x轴

多项式函数y = f(x)的图形在其根的位置会和x轴相交。若该根为重根，函数会在根的位置和x轴相切，若一般根就不会相切。若该根的重复数为奇数（包括1），函数会通过x轴，若该根的重复数为偶数，函数会接触到x轴，但不会通过x轴。

一个非零多项式函数恒为非负值的条件是当且仅当其所有根的重复数为偶数，且存在x₀使得f(x₀) > 0。

参考资料

• Krantz, S. G. Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, 1999. ISBN 0-8176-4011-8.