闭图像定理是数学中泛函分析的一条定理。
设 X {\displaystyle X} ， Y {\displaystyle Y} 为巴拿赫空间， T : X → Y {\displaystyle T:X\to Y} 为线性算子。定义 T {\displaystyle T} 的图像为 X × Y {\displaystyle X\times Y} 的子空间
赋予 X × Y {\displaystyle X\times Y} 范数 ‖ ( x , y ) ‖ X × Y = ‖ x ‖ X + ‖ y ‖ Y {\displaystyle \|(x,y)\|_{X\times Y}=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}} ，使得 X × Y {\displaystyle X\times Y} 成为巴拿赫空间。那么，这定理指 T {\displaystyle T} 是连续的（与有界等价）当且仅当 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 在 X × Y {\displaystyle X\times Y} 内是闭集。
闭图像定理可以从开映射定理推导出来。
Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是闭集的充分必要条件是如果序列 { ( x n , y n ) } n ⊂ Γ ( T ) {\displaystyle \{(x_{n},y_{n})\}_{n}\subset \Gamma (T)} （即对任意 n {\displaystyle n} 有 y n = T ( x n ) {\displaystyle y_{n}=T(x_{n})} ），而 ( x n , y n ) → ( x , y ) {\displaystyle (x_{n},y_{n})\to (x,y)} ，那么 ( x , y ) ∈ Γ ( T ) {\displaystyle (x,y)\in \Gamma (T)} ， y = T ( x ) {\displaystyle y=T(x)} 。如果 T {\displaystyle T} 是连续的，从连续性立刻可知 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是闭集，因为连续性是更强的条件：如果 x n → x {\displaystyle x_{n}\to x} ，则 T ( x n ) → T ( x ) {\displaystyle T(x_{n})\to T(x)} 。
如果 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是闭集，可以在 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 定义线性算子
显然 ‖ π 2 ( x , y ) ‖ Y = ‖ y ‖ Y ≤ ‖ ( x , y ) ‖ X × Y {\displaystyle \|\pi _{2}(x,y)\|_{Y}=\|y\|_{Y}\leq \|(x,y)\|_{X\times Y}} ，因此 π 2 {\displaystyle \pi _{2}} 是有界算子。
Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是巴拿赫空间 X × Y {\displaystyle X\times Y} 中的闭子空间，所以 Γ ( T ) {\displaystyle \Gamma (T)} 是巴拿赫空间。 X {\displaystyle X} 也是巴拿赫空间， π 1 {\displaystyle \pi _{1}} 是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆 π 1 − 1 : X → Γ ( T ) {\displaystyle \pi _{1}^{-1}:X\to \Gamma (T)} 为有界算子。
因为 T = π 2 ∘ π 1 − 1 {\displaystyle T=\pi _{2}\circ \pi _{1}^{-1}} ，故 T {\displaystyle T} 也是有界的。
从这定理可得出黑林格-特普利茨定理──希尔伯特空间上处处定义的对称线性算子是有界的。
阿尔泽拉-阿斯科利定理 • 贝尔纲定理 • 巴拿赫-阿劳格鲁定理 • 巴拿赫-马祖尔定理 • 开映射定理 • 一致有界性原理 • 闭图像定理 • 哈恩-巴拿赫定理 • 拉克斯-米尔格拉姆定理
是闭集的充分必要条件是如果序列
（即对任意
有
），而
，那么
，
。如果
是连续的，从连续性立刻可知 是闭集，因为连续性是更强的条件：如果
，则
。
是闭集，可以在 定义线性算子
，
。
，因此
是有界算子。
是巴拿赫空间
中的闭子空间，所以 是巴拿赫空间。
也是巴拿赫空间，
是双射，从而由开映射定理的系可知，其逆
为有界算子。
，故 也是有界的。
