递进阶乘与递降阶乘

(重定向自阶乘幂

数学中,阶乘幂(英语:Factorial power)是基于自然数数列积的一种运算,分为递进阶乘(英语:Rising factorial)和递降阶乘(英语:Falling factorial),或称上升阶乘下降阶乘

定义

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递进阶乘与递降阶乘有多种书写方式。

里奥·珀赫哈默尔英语Leo August Pochhammer引进的珀赫哈默尔符号(Pochhammer symbol)是常用的一种,分别为  

一种较为少见的写法将递进阶乘记作  

葛立恒高德纳奥伦·帕塔什尼克英语Oren Patashnik在《具体数学》一书中,则引进符号   

递进阶乘

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组合学特殊函数理论中,递进阶乘用于表达上升自然数数列的,定义为

 

递降阶乘

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组合学中也常用递降阶乘:

 

另外,值得一提的是递降阶乘实际上是排列  ,详见排列

两者的关系

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递进阶乘与递降阶乘,两者之间的关系为:

 

它们与阶乘的关系为:

 

扩展

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零次幂

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零次幂的递进阶乘与递降阶乘都定义为空积 1 :

 

实数

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运用伽玛函数,阶乘幂的定义域可以扩展到实数

递进阶乘的定义变为

 

递降阶乘则为

 

特性

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递进阶乘与递降阶乘都能以二项式系数形式表达:

 
 

于是二项式系数适用的许多性质都适用于递进阶乘与递降阶乘。


显然,递进阶乘与递降阶乘作为 n 个连续整数的积,它定能被 n 整除,即

 
 


n=4 ,递进阶乘与递降阶乘必定能表达为一个完全平方数减1,即

 
 


递进阶乘与递降阶乘遵从一个类似二项式定理的规则:

 
 

其中系数为二项式系数


因为递降阶乘是多项式环的基础,我们可以将递降阶乘的积表示为递降阶乘的线性组合:

 

等式右边的系数则为二项式系数

一般化

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阶乘幂能一般化至任意函数和公差:

 
 

使用这个记号,原来的递进阶乘与递降阶乘便记作   

与亚微积分的关系

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差分方程里常使用递降阶乘。其应用与微积分学中的泰勒定理非常相似,不过将微分替换为对应的差分。只是在差分中,递降阶乘   替代微分中的   例如:

 

 

这种相似性在数学中称为亚微积分。亚微积分涵盖如多项式二项式型谢费尔序列

程序实现

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Mathematica

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 [1]

参考文献

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  • Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren E., Concrete Mathematics: A Foundation for Computer Science, 1988, ISBN 0-201-14236-8 .
  • Olver, Peter J., Classical Invariant Theory, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0521558212 .

外部链接

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  1. ^ Pochhammer—Wolfram 语言参考资料. reference.wolfram.com. [2022-08-23].