雅可比坐标

在多体系统的研究中，常用雅可比坐标来简化数学计算。这一坐标系统可以用于多个领域，尤其是天体物理，以及多原子分子和化学反应 。一个用于N体问题建立雅可比坐标的算法是利用二叉树。这一算法可以这样描述：

二体问题的雅可比坐标系为质心坐标 ${\boldsymbol {R}}={\frac {m_{1}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{1}+{\frac {m_{2}}{M}}{\boldsymbol {x}}_{2}$ 和相对坐标 ${\boldsymbol {r}}={\boldsymbol {x}}_{1}-{\boldsymbol {x}}_{2}$ ；其中，$M=m_{1}+m_{2}\$ 。

四体问题一个可能的雅可比坐标系。r₁, r₂, r₃为雅可比坐标，R为质心。

质量分别为m_j和m_k的两个物体用一个质量为M = m_j + m_k的虚拟物体代替。同时，用相对坐标向量r_jk = x_j − x_k和质心坐标向量R_jk = (m_j q_j + m_kq_k)/(m_j + m_k)来替代两个物体原来的坐标向量x_j和x_k。二叉树中的一个节点即为这一虚拟物体。它有两个子节点，左子节点为m_k，右子节点为m_j。对N-1个物体重复以上步骤。

四体问题的结果是：

${\boldsymbol {r_{1}=x_{1}-x_{2}}}\ ,$

${\boldsymbol {r_{j}}}={\frac {1}{m_{0j}}}\sum _{k=1}^{j}m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ -\ {\boldsymbol {x_{j+1}}}\ ,$

其中：

$m_{0j}=\sum _{k=1}^{j}\ m_{k}\ .$

向量R是所有物体的质心：

${\boldsymbol {R}}={\frac {1}{m_{0}}}\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}{\boldsymbol {x_{k}}}\ ;$   $m_{0}=\sum _{k=1}^{N}\ m_{k}\ .$