双积

在范畴论中，双积是直积在预加法范畴中的推广，它同时是范畴论意义下的积与上积。

定义

令 ${\mathcal {C}}$ 为预加法范畴，因而任两个对象 $A,B$ 间的态射集 $\mathrm {Hom} _{\mathcal {C}}(A,B)$ 是交换群。给定有限个对象 $A_{1},\ldots ,A_{n}$，假设有：

• 对象 $A$，通常表作 $A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$。
• 态射 $p_{k}:A\to A_{k}$（称为射影）
• 态射 $i_{k}:A_{k}\to A$（称为内射）

并假设：

• $i_{1}\circ p_{1}+\ldots i_{n}\circ p_{n}=\mathrm {id} _{A}$
• $p_{k}\circ i_{k}=\mathrm {id} _{A_{k}}$
• $k\neq l\Rightarrow p_{k}\circ i_{l}=0$

则称 $A$ 是 $A_{1},\ldots ,A_{n}$ 的双积。

注意到若在定义中取 $n=0$，则“空双积”是一个对象 $0$，使得恒等映射是零映射。

例子

• 交换群范畴中存在双积，此时的双积即直和。
• 一个域或除环上的向量空间也有双积，即向量空间的直和。

性质

• 如果空双积存在，并且所有二元双积 $A_{1}\oplus A_{2}$ 存在，则所有双积皆存在。
• 预加法范畴中的双积同时是范畴意义下的积与上积，这是双积一词的由来。由此可导得空双积是零对象。
• 反之，预加法范畴中的积或上积也带有自然的双积结构。