离散群

在数学中，离散群是配备了离散拓扑的群 G。带有这种拓扑 G 成为了拓扑群。拓扑群 G 的离散子群是其相对拓扑为离散拓扑的子群 H。例如，整数集 Z 形成了实数集 R 的离散子群，但是有理数集 Q 不行。

任何群都可以给予离散拓扑。因为出自离散空间的所有映射都是连续的，离散群的拓扑同态完全就是底层群的群同态。因此，在群范畴和离散群范畴之间有一个同构，离散群因此同一于它们的底层(非拓扑)群。由于这个想法，术语离散群论被用来称呼对没有拓扑结构的群的研究，用来对比于拓扑群论或李群论。它在逻辑上和技术上被分为有限群论和无限群论。

在有些场合拓扑群或李群反自然的配备上离散拓扑是有用的。这可以在玻尔紧致化理论和在李群的群上同调理论中找到实例。

性质

因为拓扑群是齐次的，你只需要查看一个单一的点就能确定这个群是否为离散的。特别是，拓扑群是离散的，当且仅当包含单位元的单元素集合是开集。

离散群是和零维李群同样的东西(不可数离散群不是第二可数的，所以要求李群满足这个公理的作者不把这些群认做李群)。离散群的单位元单元就是平凡子群而单元的群同构于这个群自身。

因为只有在有限集合上的豪斯多夫拓扑是离散拓扑，有限豪斯多夫拓扑群必然是离散群。可得出所有的豪斯多夫群的有限子群是离散群。

G 的离散子群 H 是馀紧致(cocompact)的，如果有 G 的紧子集 K 使得 HK = G。

离散正规子群在覆盖群和局部同构群的理论中扮演重要角色。连通群 G 的离散正规子群必然位于 G 的中心并因此是阿贝尔群。

其他性质:

• 所有离散群的子群都是离散群。
• 所有离散群的商群都是离散群。
• 有限个离散群的乘积是离散群。
• 离散群是紧群当且仅当它是有限的。
• 所有离散群都是局部紧群。
• 所有豪斯多夫群的离散子群都是闭合的。
• 所有紧致豪斯多夫群的离散子群都是有限的。

例子

• 卷结群和壁纸群是欧几里德平面的等距同构群的离散子群。壁纸群是馀紧致的，但卷结群不是。
• 空间群是某维度的欧几里德空间的等距同构群的离散子群。
• 结晶群通常意味着馀紧致的、某个欧几里德空间的等距同构的离散子群。但是有时结晶群可以是幂零或可解李群的馀紧致离散子群。
• 所有三角群 T 是球面(在 T 是有限的时候)、欧几里德平面(在 T 有有限指标的 Z + Z 子群的时候)或双曲面的等距同构群的离散子群。
• 富克斯群通过定义是双曲面的等距同构群的离散子群。
  • 保持定向并作用在双曲面的上半面上的 Fuchsian 群李群 PSL(2,R) 的离散子群，它是双曲面的上半面模型的定向保持等距同构的群。
  • 富克斯群有时被认为是克莱因群的特殊情况，通过把双曲面等距的嵌入到三维双曲空间中并扩张在这个面上的群作用到整个空间。
  • 模群是 PSL(2,Z)，被认为 PSL(2,R) 的离散子群。模群是在 PSL(2,R) 中的格，但它不是馀紧致的。
• 克莱因群通过定义是双曲3-空间的等距同构群的离散子群。这包括准-富克斯群。
  • 定向保持和作用在双曲 3-空间的上半面模型上的克莱因群是李群 PSL(2,C) 的离散子群，它是双曲 3-空间的上半面模型的定向保持等距同构的群。
• 在李群中的格是使得商群的哈尔测度为有限的离散子群。

参见

• 几何群论
• 计算群论
• 自由正则集合