颤动

颤动(德语：Zitterbewegung；英语：jitter/oscillatory movement)是一种理论上螺旋的或圆形的基本粒子运动，尤其是电子，因而产生了它们所具有的自旋与磁矩。如此运动的存在是由埃尔温·薛定谔于1930年首次提出，这是出于他对自由空间中相对论性电子的狄拉克方程波包解的分析结果，其中正与负的能态间的干涉产生了看起来是以光速绕着中央的位置变动，其角频率为$2mc^{2}/\hbar \,\!$或用频率表示为大约1.6×10²¹赫兹。

自由的相对论性粒子的颤动迄今未被观察到。

Krekora等人的研究成果，基于二次量子化量子理论（适合描述多粒子量子动力学的理论）显示出：“量子场论禁止一颗电子颤动现象的出现。”Krekora等人亦将他们量子场论的数值模拟用在描述另一个具有争议性（且某种程度相关）的现象，称作克莱因佯谬。

虽然尚未被证实存在，但是对颤动已进行过两次模拟。第一次，是使用一个被俘获的离子，将之置于一个使该离子的非相对论性薛定谔方程具有和狄拉克方程同样的数学形式(虽然物理条件不同)之环境中。第二次，在2013年，使用一个玻色-爱因斯坦凝聚装置。

推导

含时间的薛定谔方程为

$H\psi (\mathbf {x} ,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}(\mathbf {x} ,t)\,\!$

其中$H\,\!$是针对自由空间中一颗电子的狄拉克方程哈密顿算符

$H=\left(\alpha _{0}mc^{2}+\sum _{j=1}^{3}\alpha _{j}p_{j}\,c\right)\,\!$

影射任意算符Q遵守方程

$-i\hbar {\frac {\partial Q}{\partial t}}(t)=\left[H,Q\right]\,\!\;$。

其中特别是位置算符的时间相关性为

$\hbar {\frac {\partial x_{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,x_{k}\right]=\alpha _{k}\,\!\;.$

上面的方程显示算符$\alpha _{k}$可被诠释为一“速度算符”的第k 分量。

速度算符的时间相关性则为

$\hbar {\frac {\partial \alpha _{k}}{\partial t}}(t)=i\left[H,\alpha _{k}\right]=2ip_{k}-2i\alpha _{k}H\,\!\;.$

现在因为$p_{k}$与$H$两者皆与时间无关，上面的方程可以很容易地被积分两次，以找出位置算符外显的时间相关性：

$x_{k}(t)=x_{k}(0)+c^{2}p_{k}H^{-1}t+{1 \over 2}i\hbar cH^{-1}(\alpha _{k}(0)-cp_{k}H^{-1})(e^{-2iHt/\hbar }-1)\,\!$

其中$x_{k}(t)\,\!$是在时间$t\,\!$的位置算符。

以上所得的式子包括了初始位置$x_{k}(0)$，与时间成比例关系的等速度运动$c^{2}p_{k}H^{-1}t$，以及一个意想不到的振动项，其振幅等于康普顿波长。振动项则是所谓的“颤动”。

有趣的是，若波包完全是正能量波或者完全是负能量波所组成时，对波包取期望值则“颤动”项会消失。因此，我们可以得到“颤动”是来自于“正能量与负能量波成分之间的干涉”这样的诠释。

参考文献

• 原始论文：E. Schrödinger, Über die kräftefreie Bewegung in der relativistischen Quantenmechanik ("On the free movement in relativistic quantum mechanics"), Berliner Ber., pp. 418-428 (1930); Zur Quantendynamik des Elektrons, Berliner Ber, pp. 63-72 (1931)

• A. Messiah, Quantum Mechanics Volume II, Chapter XX, Section 37, pp. 950-952 (1962)

外部链接

• （英文）The Zitterbewegung Interpretation of Quantum Mechanics，在正负能态干涉造成颤动之外的另一种解释。