体积形式

数学中，体积形式提供了函数在不同坐标系（比如球坐标和圆柱坐标）下对体积积分的一种工具。更一般地，一个体积元是流形上一个测度。

在一个定向n-维流形上，体积元典型地由体积形式生成，所谓体积元是一个处处非零的n-阶微分形式。一个流形具有体积形式当且仅当它是可定向的，而可定向流形有无穷多个体积形式（细节见下）。

有一个推广的伪体积形式概念，对无论可否定向的流形都存在。

许多类型的流形有典范的（伪）体积形式，因为它们有额外的结构保证可选取一个更好的体积形式。在复情形，一个带有全纯体积形式的凯勒流形是卡拉比-丘流形。

定义

流形M上一个体积形式是处处非0的最高阶（n-维流形上的n-形式）微分形式。

用线丛的语言来说，称最高阶外积 $\Omega ^{n}(M)=\Lambda ^{n}(T^{*}M)$ 为行列式线丛，n-形式是它的截面。

对不可定向流形，一个体积“伪”形式，也称为“奇”或“扭曲”的体积形式，可以定义为定向丛的一个处处非0截面；这个定义同样适用于定向流形。在这种看法下，（非扭曲的）微分形式就是“偶” n-形式。除非特别地讨论扭曲形式时，我们总是略去形容词“偶”。

第一次明确地引入扭曲微分形式是德拉姆。

定向

一个流形具有体积形式当且仅当它可定向，这也可以作为可定向的一个定义。

在G-结构的语言中，一个体积形式是一个SL-结构。因为 ${\mbox{SL}}\to {\mbox{GL}}^{+}$ 是形变收缩（因为 ${\mbox{GL}}^{+}={\mbox{SL}}\times \mathbf {R} ^{+}$ ，这里正实数视为纯量矩阵），一个流形具有一个SL-结构当且仅当具有一个 ${\mbox{GL}}^{+}$ -结构，即是一个定向。

在线丛的语言中，行列式丛 $\Omega ^{n}(M)$ 的平凡性等价于可定向性，而一个线丛是平凡的当且仅当它有一个处处非0的截面，这样又得到，体积形式的存在性等价于可定向性。

对于伪体积形式，一个伪体积形式是一个 ${\mbox{SL}}^{\pm }$ -结构，因为 ${\mbox{SL}}^{\pm }\to {\mbox{GL}}$ 同伦等价（事实上是形变收缩），任何流形都有伪体积形式。类似地，定向丛总是平凡的，所以任何流形都有一个伪体积形式。

和测度的关系

任何流形有一个伪体积形式，因为定向丛（作为线丛）是平凡的。给定一个定向流形上的体积形式ω，密度 |ω| 是忘掉定向结构的非定向流形的一个伪体积形式。

任何伪体积形式ω（从而任何体积形式亦然）定义了一个波莱尔集合上一个测度：

\mu _{\omega }(U)=\int _{U}\omega .\,\!

注意区别，在于任何一个测度可以在（Borel）子集上积分，而一个体积形式只能在一个“定向”胞腔上积分。在单变量微积分中，写成 $\int _{b}^{a}f\,dx=-\int _{a}^{b}f\,dx$ ，将 $dx$ 视为体积形式而不是测度， $\int _{b}^{a}$ 表明“在 $[a,b]$ 上沿着定向相反的反向积分”，有时记成 ${\overline {[a,b]}}$ 。

进一步，一般的测度不必连续或光滑，他们不必由体积形式定义；或更形式地说，关于一个体积形式的Radon-Nikodym导数不必绝对连续。

例子

李群

任何李群，可以由平移定义一个自然的体积形式。这就是说，如果ω_e 是 $\bigwedge ^{n}T_{e}^{*}G$ 中一个元素，那么一个左不变形式可以定义为 $\omega _{g}=L_{g}^{*}\omega _{e}$ ，这里L_g为左平移。作为一个推论，任何李群都是可定向的。这个体积形式在相差一个常数的意义下是惟一的，相应的测度称为哈尔测度。

辛流形

任何辛流形（或更确切地为殆辛流形）有一个自然的体积形式。如果M是一个带有辛形式ω的2n-维流形，那么由辛形式非退化可知ωⁿ处处非零。作为一个推论，任何辛流形是可定向的（事实上，已经定向）。

黎曼体积形式

任何黎曼流形（或伪黎曼流形）有一个自然的体积（或伪体积）形式。在局部坐标系下，能写成表达式：

\omega ={\sqrt {|g|}}dx^{1}\wedge \dots \wedge dx^{n}

这里流形为n-维， $|g|$ 是流形上度量张量行列式的绝对值， $dx^{i}$ 为组成流形余切丛一组基的1形式。

这个体积形式有许多不同的记号，包括：

\omega =\mathrm {vol} _{n}=\epsilon =*(1).\,\!

这里∗是霍奇对偶，从而最后一个形式∗(1)强调体积形式是流形上常数映射的霍奇对偶。

尽管希腊字母ω经常用于表示体积形式，但是这个记法很难通用，符号ω在微分几何中经常有其它意思（比如辛形式），所以一个公式中的ω不一定就表示体积形式。

一个流形如果既是辛的又是黎曼的，如果流形是凯勒的那种方式定义的体积形式相等。

曲面的体积形式

体积形式一个简单的例子可以考虑嵌入n-维欧几里得空间中的2-维曲面。考虑子集 $U\subset \mathbf {R} ^{2}$ ，以及映射函数

\phi :U\to \mathbf {R} ^{n}

定义了嵌入到 $\mathbf {R} ^{n}$ 中的一个曲面。映射的雅可比矩阵为

\lambda _{ij}={\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{j}}}

指标i从1跑到n，j从1跑到2。n-维空间的欧几里得度量诱导了集合U上的一个度量，度量矩阵分量为：

g_{ij}=\sum _{k=1}^{n}\lambda _{ki}\lambda _{kj}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{i}}}{\frac {\partial \phi _{k}}{\partial u_{j}}}

度量的行列式由

\det g=\left|{\frac {\partial \phi }{\partial u_{1}}}\wedge {\frac {\partial \phi }{\partial u_{2}}}\right|^{2}=\det(\lambda ^{T}\lambda )

给出，这里 $\wedge$ 是楔积。对一个正则曲面，这个行列式不为0；等价地，雅可比矩阵的秩为2。

现在考虑U的一个坐标变换，由微分同胚

f\colon U\to U,\,\!

给出。从而坐标 $(u_{1},u_{2})$ 用 $(v_{1},v_{2})$ 形式表示是 $(u_{1},u_{2})=f(v_{1},v_{2})$ 。坐标变换的雅可比矩阵为：

F_{ij}={\frac {\partial f_{i}}{\partial v_{j}}}

在新坐标系下，我们有：

{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial v_{j}}}=\sum _{k=1}^{2}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial u_{k}}}{\frac {\partial f_{k}}{\partial v_{j}}}

从而度量变换为：

{\tilde {g}}=F^{T}gF

这里 ${\tilde {g}}$ 是在v坐标系下的度量。行列式：

\det {\tilde {g}}=\det g(\det F)^{2}

.

给出以上构造后，现在可以直接理解为什么体积在坐标变换下不变的。在2维，体积就是面积。子集 $B\subset U$ 的面积由积分：

{\begin{aligned}{\mbox{Area}}(B)&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;du_{1}du_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det g}}\;\det F\;dv_{1}dv_{2}\\&=\iint _{B}{\sqrt {\det {\tilde {g}}}}\;dv_{1}dv_{2}\end{aligned}}

给出。从而，在任一坐标系下，体积都有相同的表达式，即这个表达式在坐标变换下是不变的。

注意到在以上表达式中2维并没有任何特殊性，以上结论可以平凡地推广到任意维数。

体积形式不变性

体积形式不是惟一的，它们以如下方式组成了流形上非0函数上的一个旋子。这是Radon–Nikodym定理的一个几何形式。

给定M上一个处处函数f，和一个体积形式 $\omega$ ， $f\omega$ 也是M上的体积形式。相反地，给定任何两个体积形式 $\omega ,\omega '$ ，他们的比是一个处处非0函数（如果定向相同为正，定向相反为负）。

在坐标系中，他们都不过是一个处处非0函数乘以勒贝格测度，他们的比就是函数的比，这和坐标系的选取无关。本质上，这是 $\omega '$ 关于 $\omega$ 的Radon–Nikodym导数。

无局部结构

一个体积形式没有局部结构：任何两个体积形式（在相同维数的流形上）是局部同构的。

正式地说，这个结论意味着给定任何两个同维数的流形 $M,N$ ，分别具有体积形式 $\omega _{M},\omega _{N}$ ，对任何点 $m\in M,n\in N$ ，存在一个映射 $f\colon U\to V$ （这里 $U$ 是 $m$ 的一个邻域而 $V$ 是 $n$ 的一个邻域），使得N（限制在邻域 $V$ 上）上的体积形式拉回到 $M$ （限制在邻域 $U$ ）上的体积形式： $f^{*}\omega _{N}\vert _{V}=\omega _{M}\vert _{U}$ 。给定维数的可微流形是局部微分同胚的；增添的判断标准是体积形式拉回到体积形式。