高合成数

高合成数（highly composite number）指一类整数，任何比它小的自然数的因子数目均比这个数的因子数目少。这个词是由斯里尼瓦瑟·拉马努金所创建。但是让-皮埃尔·卡汗（英语：Jean-Pierre Kahane）认为柏拉图已有提出此一概念，柏拉图认为城市理想的人口数为5040，因为这个数的因子数量多过任何一个比小于它的数^[1]。

以数字6为例，小于6的数字中，因子最多的数是4，有3个因子（1,2,4），而6有4个因子（1,2,3,6），因此6是高合成数。

高合成数的名称容易让人误以为其中都是合成数，其实前二个高合成数1和2都不是合成数。

最小的20个高合成数为：

	1,	2,	4,	6,	12,	24,	36,	48,	60,	120,	180,	240,	360,	720,	840,	1260,	1680,	2520,	5040,	7560,	A002182
正因子个数	1,	2,	3,	4,	6,	8,	9,	10,	12,	16,	18,	20,	24,	30,	32,	36,	40,	48,	60,	64,	A002183

高度合成数有无限个。为了证明这点，可用反证法。假设 $n$ 是最大的高度合成数。显然 $2n$ 比 $n$ 有更多因子，所以 $2n$ 才是最大的高度合成数，矛盾，故高度合成数有无限个。

大于6的高度合成数亦是丰数。

这些数常见于量度系统，在工程设计亦很常用，因为它们在分数计算时很方便。

若 Q(x)表示所有小于或等于x的高度合成数的数目，则存在两个均大于1的常数 $a,b$ ，使得∶

\ln(x)^{a}\leq Q(x)\leq \ln(x)^{b}\,.

参考资料

^ Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140 . Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.

外部的连结

[1] Kahane, Jean-Pierre, Bernoulli convolutions and self-similar measures after Erdős: A personal hors d'oeuvre, Notices of the American Mathematical Society, February 2015, 62 (2): 136–140 . Kahane 引用柏拉图的《法律篇》 771c.

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