高斯引理 (多项式)

代数学中 ,高斯引理[1]高斯命名,是关于系数多项式的命题,或者更一般地说,是关于一个唯一分解整环的叙述。

高斯的引理断言两个本原多项式的乘积仍是本原多项式(本原多项式是指:系数的最大公因数为1的整系数多项式)。

高斯引理有一个推论,有时也被称为高斯引理。其断定一个本原多项式在整数上是不可约的 ,当且仅当它在有理数上是不可约的。

整系数多项式版本

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当一个整系数多项式  的系数的最大公因数是1,我们称其为本原多项式。那么有以下高斯引理:

高斯引理 (本原版本). 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证明:

以下以反证法证明。

设整系数多项式 都是本原的,并反设 不是本原多项式。

于是 是非本原的整系数多项式,因此可选整除 所有系数的质数 

 皆是本原的,从而可分别选定 为满足 的最小整数。现在我们知道  项系数是

 

根据假设,该项系数应该被 整除,矛盾,故得证。

高斯引理 (不可约版本). 如果一非常数整系数多项式在有理系数多项式环 内可约,则他在整系数多项式环 内也可约。

证明:

 是一在 内可约的非常数整系数多项式。于是可取两个非常数的有理系数多项式 使得 

透过适当选取整数 ,可以假设 皆是本原多项式(当然也就是整系数多项式)。

由上一个引理, 也是本原多项式。于是  的系数的最大公因数,故 是个整数。

现在,我们有  是整数,于是也就证明了  内也可约。

参考资料

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  1. ^ Article 42 of Carl Friedrich Gauss's Disquisitiones Arithmeticae (1801)