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高维代数

在数学中，特别是（高阶）范畴论中，高维代数是指对范畴化结构的研究。其在非阿贝尔代数拓扑与抽象代数的推广中有应用。

高维范畴 编辑

主条目：范畴论 § 高维范畴

定义高维代数的第一步是高阶范畴论中2-范畴的概念，以及二阶范畴的更“几何化”的概念。[1] [2][3]

更高级的概念因此定义为范畴的范畴，或称为超范畴。这将范畴的标记推广到高维——范畴被视为可以解释抽象范畴基本理论（ETAC）的劳维尔公理的任何结构。[4][5][6][7]

因此，超范畴可被视作元范畴、[8]多范畴、多图或有色图。 超范畴的概念于1970年被首次提出，[9]随后在理论物理（特别是量子场论和拓扑量子场论）、数理生物学及数理生物物理学中得到了应用。[10]

高维代数中的其他途径涉及：弱2-范畴、弱2-范畴的同态、可变范畴（又称索引或参数化范畴）、拓扑斯、增广范畴 以及内范畴。

二维广群 编辑

主条目：二维广群

高维代数中，二维广群是一维广群的推广，[11]后一种广群可视为所有态射都可逆的特殊范畴。

二维广群通常用来捕捉几何对象的信息，如高维流形（或n维流形）。[11]一般来说，一个n维流形是在局部上像是n维欧几里得空间的空间，而整体结构可能是非欧的。

1976年，罗纳德·布朗在ref.[11] 中首先提出了二维广群，并进一步发展了它在非阿贝尔代数拓扑中的应用。[12][13][14][15]与其相关的“双”概念指的是二维李代数胚，以及更一般的R代数体概念。

非阿贝尔代数拓扑 编辑

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应用 编辑

理论物理 编辑

在量子场论中有量子范畴[16][17][18]和量子二维广群。[18]我们可以把量子二维广群看作是通过2-函子定义的基本广群，这样就可由弱2-范畴Span(Groupoids)的视角思考量子基本广群（QFGs）这一物理上有意义的情况，然后为流形和配边构造2-希尔伯特空间和2-线性映射。下一步，我们将通过此类2-函子的自然变换来获得带角的配边。于是有说法称，在规范群SU(2)的作用下，“扩展的拓扑量子场论可以给出等同于量子引力的蓬扎诺-雷其模型的理论”；[18]相似地，图拉耶夫-维罗模型也可以通过SUq(2)的表示得到。因此，我们可以用对称性给出的变换广群来描述规范理论——或者许多种量子场论（QFTs）及局域量子物理的状态空间。例如，对于规范理论的情况，我们可以用作用于状态的度规变换来描述状态空间，在这种情况下状态就是连接。在与量子群相关的对称性的情况下，我们会得到量子广群的表示范畴（representation category）的结构，[16]而非广群的表示范畴的2-向量空间。

另见 编辑

  • 在量子物理领域的应用：

    • 参考文献 编辑

    1. ^ Double Categories and Pseudo Algebras (PDF). （原始内容 (PDF)存档于2010-06-10）. 
    2. ^ Brown, R.; Loday, J.-L. Homotopical excision, and Hurewicz theorems, for n-cubes of spaces. Proceedings of the London Mathematical Society. 1987, 54 (1): 176–192. CiteSeerX 10.1.1.168.1325  . doi:10.1112/plms/s3-54.1.176. 
    3. ^ Batanin, M.A. Monoidal Globular Categories As a Natural Environment for the Theory of Weak n-Categories. Advances in Mathematics. 1998, 136 (1): 39–103. doi:10.1006/aima.1998.1724  . 
    4. ^ Lawvere, F. W. An Elementary Theory of the Category of Sets. Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America. 1964, 52 (6): 1506–1511. Bibcode:1964PNAS...52.1506L. PMC 300477  . PMID 16591243. doi:10.1073/pnas.52.6.1506  . 
    5. ^ Lawvere, F. W.: 1966, The Category of Categories as a Foundation for Mathematics., in Proc. Conf. Categorical Algebra – La Jolla., Eilenberg, S. et al., eds. Springer-Verlag: Berlin, Heidelberg and New York., pp. 1–20. http://myyn.org/m/article/william-francis-lawvere/ 互联网档案馆的存档，存档日期2009-08-12.
    6. ^ Kryptowährungen und Physik. PlanetPhysics. [2023-08-27]. （原始内容存档于2018-07-27）. 
    7. ^ Lawvere, F. W. Adjointness in Foundations. Dialectica. 1969b, 23 (3–4): 281–295 [2009-06-21]. CiteSeerX 10.1.1.386.6900  . doi:10.1111/j.1746-8361.1969.tb01194.x. （原始内容存档于2009-08-12）. 
    8. ^ Axioms of Metacategories and Supercategories. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始内容存档于2009-08-14）. 
    9. ^ Supercategory theory. PlanetMath. （原始内容存档于2008-10-26）. 
    10. ^ Mathematical Biology and Theoretical Biophysics. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始内容存档于2009-08-14）. 
    11. ^ 11.0 11.1 11.2 Brown, Ronald; Spencer, Christopher B. Double groupoids and crossed modules. Cahiers de Topologie et Géométrie Différentielle Catégoriques. 1976, 17 (4): 343–362 [2023-08-27]. （原始内容存档于2023-10-04）. 
    12. ^ Non-commutative Geometry and Non-Abelian Algebraic Topology. PlanetPhysics. [2009-03-02]. （原始内容存档于2009-08-14）. 
    13. ^ Non-Abelian Algebraic Topology book 互联网档案馆的存档，存档日期2009-06-04.
    14. ^ Nonabelian Algebraic Topology: Higher homotopy groupoids of filtered spaces. [2023-08-27]. （原始内容存档于2022-03-18）. 
    15. ^ Brown, Ronald; Higgins, Philip; Sivera, Rafael. Nonabelian Algebraic Topology. 2011 [2023-08-27]. ISBN 978-3-03719-083-8. arXiv:math/0407275  . doi:10.4171/083. （原始内容存档于2023-08-27）. 
    16. ^ 16.0 16.1 Quantum category. PlanetMath. （原始内容存档于2011-12-01）. 
    17. ^ Associativity Isomorphism. PlanetMath. （原始内容存档于2010-12-17）. 
    18. ^ 18.0 18.1 18.2 Morton, Jeffrey. A Note on Quantum Groupoids. C*-algebras, deformation theory, groupoids, noncommutative geometry, quantization. Theoretical Atlas. 2009-03-18 [2023-08-27]. （原始内容存档于2023-10-09）. 

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