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五角十二面体

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提示：此条目页的主题不是五角化十二面体或立方五角十二面体。
此条目介绍的是对应黄铁矿晶体结构的多面体。关于其他由十二个五边形面组成的多面体，请见“五角十二面体 (消歧义)”。

在几何学中，五角十二面体[1]（Pentagonal dodecahedron或Pyritohedron）是一种由12个不等边五边形组成的十二面体，具有四面体群对称性。其与正十二面体类似，皆是由12个全等的五边形组成，且每个顶点都是3个五边形的公共顶点[2]，但由于其面不是正多边形，其顶点的排布未能达到五折对称性，因此不属于正多面体。部分的化学物质或矿石[3]其晶体形状是这种形状，例如黄铁矿和部分的天然气水合物[4]。其英文名称Pyritohedron是来自黄铁矿的英文pyrite以及多面体的字尾-hedron命名的。[5]

五角十二面体
五角十二面体
类别凸多面体
对偶多面体扭棱四面体
数学表示法
考克斯特符号
（英语：Coxeter-Dynkin diagram）		node 4 node_fh 3 node_fh 
node_fh 3 node_fh 3 node_fh 
性质
面12
边30
顶点20
欧拉特征数F=12, E=30, V=20 （χ=2）
组成与布局
面的种类12个不等边五边形
对称性
对称群Th, [4,3+], (3*2), order 24
旋转对称群
（英语：Rotation_groups）		T, [3,3]+, (332), order 12
特性
凸, 等面
图像
立体图

扭棱四面体
（对偶多面体）
（展开图）

性质

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五角十二面体是一种等面十二面体，共由12个面、30条边和20个顶点所组成，其结构在拓朴上与正十二面体相同，但由于构成面不是正多边形，因此不是正多面体[6]。其30条边可以分成2组等长的边，其中一组为24条等长的短边，另一组为6条等长的长边。

顶点座标

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五角十二面体可以透过将立方体6个面的每个面分割成2个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来[7]，因此五角十二面体中会有8个顶点跟立方体相同，这些顶点的座标为：

(±1, ±1, ±1)

在将立方体每个面分割成2个矩形时产生的另外12个顶点可以表示为：[8]

(0, ±(1 + h), ±(1 − h2))
(±(1 + h), ±(1 − h2), 0)
(±(1 − h2), 0, ±(1 + h))

其中h为过程中所产生之楔体的高，而五角十二面体的楔体高通常介于0到1之间。若高为1，则该形状会变为菱形十二面体[7]，若高为0，则五边形会有一条边共线成矩形、矩形会两两共面成正方形，而整体立体外观为立方体。若其高为黄金分割率的乘法逆元−1 + √5/2[9]，则会形成正十二面体；若是其相反数−1 − √5/2，则会形成大星形十二面体。

晶体学

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五角十二面体黄铁矿中常见的晶体形状[10]，因此五角十二面体的英文名称是由黄铁矿的英文名称来命名的[5]。虽然晶体学中并不存在正十二面体[11]，但是与之拓朴同构的五角十二面体可以出现在黄铁矿的晶体中，而且有可能是早期发现帕雷托立体的来源之一[12]。而真正的正十二面体只能以准晶体的形式出现于部分准晶体之中，如钬－镁－锌准晶体中。[13]

 
立方体形的黄铁矿晶体 		 
五角十二面体形的黄铁矿晶体

相关多面体

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五角十二面体具有一种几何自由度，该几何自由度是在对应五角十二面体之面两两共面形成的立方体、和其中六条边被缩短为0而退化形成的菱形十二面体的两限制情况（英语：Limiting case (mathematics)）下的几何自由度。而正十二面体则是所有边等长的特殊中间体。[14]

五角十二面体几何自由度下的特殊情况
1 : 1 0 : 1 1 : 1 2 : 1 1 : 1 0 : 1 1 : 1
h = −√5 + 1/2 h = -1 h = -√5 + 1/2 h = 0 h = √5 − 1/2 h = 1 h = √5 + 1/2
 
大星形十二面体是一种由正五角星组成的星形正多面体。 		 
退化。有12个顶点位于其几何中心。 		 
凹等边十二面体，又称为内十二面体。 		 
将立方体的每个面分割成2个矩形的结构。 		 
在这一系列中既等边又是凸的情况为正十二面体。 		 
6条边退化成边长0的情况为菱形十二面体 		 
边自相交的等边十二面体

二复合五角十二面体

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透过交和五角十二面体的非零座标可以形成另一个五角十二面体。这个新形成的五角十二面体可以和原本的五角十二面体组成一个具有对称性的复合几何结构，称为二复合五角十二面体。其在考克斯特记号中可以用     表示。这个复合立体具有八面体群对称性。[15]

作为立方体分割面的变形结果

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五角十二面体可以透过将立方体6个面的每个面分割成2个矩形，并且相邻面方向互相垂直的结构变形而来[7]，而将立方体面分割成不同数量的矩形可以形成不同的结果，例如每个面皆分割成3个矩形可以形成立方五角十二面体，其对应的球面镶嵌[注 1]是排球的常见形状之一[16]。

分割数 1 2 3 4
图像        
球面镶嵌        
几何结构 立方体 五角十二面体 立方五角十二面体 一种球面镶嵌[17]

参见

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注释

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  1. ^ 一个多面体的球面镶嵌或球面多面体是指将该多面体投影到球面上所形成的几何结构。

参考文献

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  1. ^ 五角十二面體 pyritohedron. 国家教育研究院. [2019-09-14]. （原始内容存档于2021-08-14）. 
  2. ^ Crystal Habit （页面存档备份，存于互联网档案馆）. Galleries.com. Retrieved on 2016-12-02.
  3. ^ 中村庆三郎. 朝鮮コバルト鑛床調査概報. 地学雑志 (公益社団法人 东京地学协会). 1942, 54 (6): 211––230. 
  4. ^ 天然氣水合物能替代石油嗎？. 科学人杂志 - 远流. [2019-11-04]. （原始内容存档于2021-08-16）. 天然气水合物常见的两种笼状结构为五角十二面体 
  5. ^ 5.0 5.1 Pyrite. stonetrust. [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-02-23）. 
  6. ^ 超級立體家族-正多面體. ntsec.gov.tw. [2019-11-04]. （原始内容存档于2009-04-14）. 这三个条件都必须同时满足，否则就不是正多面体，比如五角十二面体 
  7. ^ 7.0 7.1 7.2 Koca, Nazife O and Al-Mukhaini, Aida Y and Koca, Mehmet and Al-Qanobi, Amal J. Symmetry of the pyritohedron and lattices. Sultan Qaboos University Journal for Science [SQUJS]. 2016, 21 (2): 139––149. 
  8. ^ Koca, Nazife Ozdes and Koca, Mehmet and Al-Mukhaini, Aida and Al-Qanobi, Amal. Quaternionic Representations of the pyritohedral group, related polyhedra and lattices. arXiv preprint arXiv:1506.04600. 2015. 
  9. ^ Weisstein, Eric W. (编). Golden Ratio Conjugate. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）. 
  10. ^ Cotton, F. A. Chemical Applications of Group Theory 3rd ed. New York: Wiley. 1990: p. 63. 
  11. ^ George W. Hart. Dodecahedra. georgehart.com. 1996 [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-04-07）. 
  12. ^ Stephan. Klaus, Bianca. Violet, Katzengold: Pyrite, Plato, and a Polynomial (PDF), imaginary.org, 2015 [2019-11-04], （原始内容存档 (PDF)于2016-07-05） 
  13. ^ Mitch Jacoby. QUASICRYSTALS: A NEW KIND OF ORDER. SCIENCE/TECHNOLOGY, CENEAR. 1999-03-15, 77 (11): pp.44-47. 
  14. ^ 藝術中的數學. shann.idv.tw. [2019-11-04]. （原始内容存档于2021-08-14）. 它是一种只具有正四面体对称性的五角十二面体的特殊形式 
  15. ^ George W. Hart. Compounds of Polyhedra. georgehart.com. 1996 [2019-11-04]. （原始内容存档于2019-04-17）. 
  16. ^ Paul Bourke, § Volley ball (Gaelic football, Water polo, Netball), Geometry of sports balls, Paul Bourke, January 2017 [2019-11-04], （原始内容存档于2018-07-27） 
  17. ^ Hyde, Stephen T. Contemporary Geometry For The Built Design?. Architectural Theory Review (Taylor & Francis). 2010, 15 (2): 110––124. 
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