H2H-square数学控制理论的用语,是指有平方范数的哈代空间,是L2空间的子集合,因此也是希尔伯特空间。特别的是,H2空间也是再生核希尔伯特空间英语Reproducing kernel Hilbert space

单位圆盘内的H2空间

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一般而言,单位圆盘内L2空间的元素可以表示为

 

H2空间的元素可以表示为

 

L2空间到H2空间的映射(令n < 0时的an = 0)是orthogonal映射。

半平面中的H2空间

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拉氏转换  

 

可以理解为以下的线性算子

 

其中 为正实数线上平方可积函数的集合,且 为复平面的右半平面,而且拉氏转换也是同构(因为其可逆),而且等距同构,因为满足下式

 

拉氏转换是「半个」傅立叶转换,因为以下的分解

 

可以得到 正交分解成两个哈代空间

 

在本质上就是培力-威纳定理英语Paley-Wiener theorem

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参考资料

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  • Jonathan R. Partington, "Linear Operators and Linear Systems, An Analytical Approach to Control Theory", London Mathematical Society Student Texts 60, (2004) Cambridge University Press, ISBN 0-521-54619-2.