凯泽窗

凯泽窗（Kaiser window）是由贝尔实验室的James Kaiser所提出的。凯泽窗是一个单参数的窗函数群，用在数字信号处理中，其定义如下：

凯泽窗

$w[n]=\left\{{\begin{matrix}{\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2n}{N-1}}-1\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}},&0\leq n\leq N-1\\\\0&{\mbox{otherwise}},\\\end{matrix}}\right.$

其中：

• N 为序列的长度
• I₀ 是零阶的第一类修正贝索函数
• α 是任意非负实数，用来调整凯泽窗的外形。在频域上可以在主瓣（main-lobe）宽度及旁瓣（side lobe）大小中取拾，这是窗函数设计的重要考量因素。

若N为奇数，窗函数最大值会在 $\scriptstyle w[(N-1)/2]=1,$ 。若N为偶数，窗函数最大值会在 $\scriptstyle w[N/2-1]\ =\ w[N/2]\ <\ 1.$。

傅立叶变换

若将上述离散数列视为是连续函数，并进行傅立叶变换：

$\underbrace {\frac {I_{0}\left(\pi \alpha {\sqrt {1-\left({\frac {2t}{(N-1)T}}\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )}} _{w_{0}(t)}\quad {\stackrel {\mathcal {F}}{\Longleftrightarrow }}\quad \underbrace {\frac {(N-1)T\cdot \sinh \left(\pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}\right)}{I_{0}(\pi \alpha )\cdot \pi {\sqrt {\alpha ^{2}-\left((N-1)T\cdot f\right)^{2}}}}} _{W_{0}(f)}.$

两个不同α参数凯泽窗的傅立叶变换

w₀(t)的最大值为w₀(0) = 1.  上述的w[n]数列为以下函收的取様：

$w_{0}\left(t-{\tfrac {(N-1)T}{2}}\right)\cdot \operatorname {rect} \left({\tfrac {t-(N-1)T/2}{NT}}\right),$   ，在间隔T的时间进行取样。

而且rect()为矩形函数. W₀(f)主瓣后的第一个零点在：

$f={\frac {\sqrt {1+\alpha ^{2}}}{NT}},$     

调整α可以在主瓣的宽度及旁瓣大小中进行取舍。若α增加，W₀(f)主瓣的宽度增加，而旁瓣的大小减小，如右图所示。α = 0会对应长方形的窗函数。若α增加，时域及频率下凯泽窗的形状都会接近高斯曲线。凯泽窗在频率0附近的集中程度是几乎最佳化的（Oppenheim et al., 1999）。

参考资料

• Oppenheim, A. V.; Schafer, R. W.; Buck J. R. Discrete-time signal processing. Upper Saddle River, N.J.: Prentice Hall. 1999. ISBN 0-13-754920-2. 
• Kaiser, J. F. (1966). Digital Filters. In Kuo, F. F. and Kaiser, J. F. (Eds.), System Analysis by Digital Computer, chap. 7. New York, Wiley.
• Craig Sapp, Kaiser-Bessel Derived Window Examples and C-language Implementation, Music 422 / EE 367C: Perceptual Audio Coding (Stanford University course page, 2001).