L符号

L符号是个类似大O符号的渐近符号，标记为$L_{n}[\alpha ,c]$，多用于表示特定算法的计算复杂性。

定义

L符号的定义如下：

$L_{n}[\alpha ,c]=e^{(c+o(1))(\ln n)^{\alpha }(\ln \ln n)^{1-\alpha }}$

其中，c为一正实数，且$\alpha$为一实数$0\leq \alpha \leq 1$。

L符号主要用于计算数论，表示困难数论问题之算法的复杂性，如整数分解的筛法及离散对数的解法。L符号可简化对这些算法的分析，以$e^{c(\ln n)^{\alpha }(\ln \ln n)^{1-\alpha }}$表示主要项，$e^{o(1)(\ln n)^{\alpha }(\ln \ln n)^{1-\alpha }}$则用以表示其他较小的项。

当$\alpha$为0时，

$L_{n}[\alpha ,c]=L_{n}[0,c]=e^{(c+o(1))\ln \ln n}=(\ln n)^{c+o(1)}\,$

是个ln n的多项式函数；而当$\alpha$为1时，

$L_{n}[\alpha ,c]=L_{n}[1,c]=e^{(c+o(1))\ln n}=n^{c+o(1)}\,$

则会是ln n的指数函数（即n的多项式函数）。

当$\alpha$介于0与1之间时，L符号为ln n的次指数（与超越多项数）函数。

例子

许多通用的整数分解算法都具有次指数复杂度，其中目前已知最快的为普通数域筛选法，其时间复杂度估算为

$L_{n}[1/3,c]=e^{(c+o(1))(\ln n)^{1/3}(\ln \ln n)^{2/3}}$

其中，$c=(64/9)^{1/3}\approx 1.923$。在普通数域筛法出现前，最快的整数分析算法为二元筛法，其时间复杂度估算为

$L_{n}[1/2,1]=e^{(1+o(1))(\ln n)^{1/2}(\ln \ln n)^{1/2}}.\,$

对椭圆曲线离散对数问题而言，目前已知最快的通用算法为大步小步法，其时间复杂估算为群阶的开平方。以L符号表示为

$L_{n}[1,1/2]=n^{1/2+o(1)}.\,$

目前已知最快测试一个数是否为质数的算法为AKS质数测试，其时间复杂度为多项式时间，以L符号表示为

$L_{n}[0,c]=(\ln n)^{c+o(1)}\,$

其中，c已被证明至多为6。

历史

最早出现L符号的文献为卡尔·帕梅朗斯所著的论文《一些整数分解算法的分析与比较》（Analysis and comparison of some integer factoring algorithms）。在此论文中，L符号的参数只有$c$，其中的$\alpha$则因其所分析的算法而设为$1/2$。

具有两个参数的L符号则由阿尔扬·伦斯特拉及亨德里克·伦斯特拉在其论文《数论中的算法》（Algorithms in Number Theory）中首次引入，用以分析唐·科普斯密思的离散对数算法，为现在数学文献中最常使用的形式。