L函数

在当代数论中，L函数是一类重要的复变数函数，蕴含重要的数论、算术代数几何或表示理论信息，目前仍有大量待解的猜想。L函数是黎曼ζ函数的推广，最简单的例子是狄利克雷L函数，狄利克雷借此研究等差数列中的素数密度。

许多L函数也有p进数版本。

L函数通常以无穷级数表示，有时也称为L级数；这种级数通常只对虚部够大的参数 $s$ 方收敛。一如黎曼ζ函数，L级数往往能延拓为整个复数平面上的亚纯函数或全纯函数，并具备乘积表法及函数方程。

L函数的例子

• 黎曼ζ函数
• 对应到模形式的L函数（梅林变换）
• 由狄利克雷特征给出的狄利克雷L函数
• 由赫克特征给出的赫克L函数
• 伽罗瓦表示给出的阿廷L函数
• 自守表示给出的自守L函数
• 动形给出的L函数，例如哈瑟-韦伊ζ函数

这几类L函数之间的关系是当代数学的核心问题之一；郎兰兹纲领由L函数的配对出发，预测了伽罗瓦表示、$\ell$-进表示（或动形）与自守表示间的关系。

L函数的零点、极点及特别值也蕴藏深刻的算术信息。千禧年大奖难题之一的贝赫和斯维讷通-戴尔猜想（BSD猜想）便是一例。

文献

• Jean-Pierre Serre, Cours d'arithmétique