Meissel-Mertens常数

Meissel-Mertens常数也称为Mertens常数或质数倒数和常数，是数论中的一个常数，定义为只针对质数的调和级数和自然对数的自然对数二者差的极限：

M=\lim _{n\rightarrow \infty }\left(\sum _{p\leq n}{\frac {1}{p}}-\ln(\ln(n))\right)=\gamma +\sum _{p}\left[\ln \!\left(1-{\frac {1}{p}}\right)+{\frac {1}{p}}\right].

其中 $\gamma$ 为欧拉-马歇罗尼常数，其定义恰好和上式有些类似之处。

$M$ 的值大约是

M\approx 0.261\ 497\ 212\ 847\ 642\ 783\ 755\ 426\ 838\ 608\ 695\ 859\ 0516\ldots

（OEIS数列A077761）.

依梅滕斯第二定理，上述的极限存在。

Meissel-Mertens常数的极限定义中出现对数的对数，可以看成是素数定理和欧拉-马歇罗尼常数定义的组合。

Google在针对北电网络专利拍卖投标时，曾用到此数字，Google三个投标的金额为：$1,902,160,540（布朗常数）、$2,614,972,128（Meissel-Mertens常数）、及$31.4159亿（π）^[1]。

参考资料

^ Reuters. Google's strange bids for Nortel patents. FinancialPost.com. July 5, 2011 [2011-08-16]. （原始内容存档于2011-08-09）.

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