用户:Travailen/草稿02 点
数学的点
编辑在亚里士多德的著作【论天体】第三册中，已经提到数学中的点是没有大小的[1][2]，他依此来驳斥柏拉图将数学的几何形视为物理实体的构成要素[3]（参见正多面体），并强调这与当时的数学定义相违背，因为数学的平面没有厚度，所以不能构造物理实体。他论述说，如果数学平面有厚度，那么数学的线就要有宽度才能够成平面，而数学的点必须有大小才能构成线，但是在数学中已经明确定义数学的点是没有大小的，因此柏拉图的理论与数学相抵触。从这里，亚里士多德陈述说，一个几何物件只能分割成相同型态的几何物件：平面只能分割成平面，而不能分割成线；线只能分割成线，不能分割成点；这样的分割可以无限的进行，而不是像原子论者所说的，最后分割到原子（或是基本构成要素）就停止了。
因此，早在欧几里得的【几何原本】之前，数学中的点只用来标示位置的用法已经是共识。亚里士多德提到点的时候，用的字是 στιγμὰς，是可见的点（spot），而欧几里得则（小心翼翼的）采用另一个字 σημεῖόν，原意是“标示”（sign）：
σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.[4]
这句话的意思是：点是没有部分（μέρος）的东西。点没有部分，所以也就没有大小。这个论点来源自亚里士多德的“部分－整体”理论（part–whole theory）：
"the parts are causes of the whole"[5]（整体是由部分所构成的。）
【几何原本】的阿拉伯文版，将 σημεῖόν 翻译为 نقطة[6]，意思回到亚里士多德的可见点[7]；拉丁文版则将 σημεῖόν 翻译为 punctum[8]，意思是被尖物刺成的小洞。
语源
编辑在【几何原本】的第一册中，第一道叙述就是点的定义：
- 古希腊原文[9]：σημεῖόν ἐστιν, οὗ μέρος οὐθέν.
- σημεῖόν（点，标记） ἐστιν（实际上）, οὗ μέρος （部分）οὐθέν（无，没有）.
- 阿拉伯文[10]：النقطة هي شيء ما لا جزء له
- نقطة[11]: dot, period (punctuation mark) spot, drop
Aristotle 【De Caelo】[14]:
Discussion of the other views may be postponed. But this last theory which composes every body of planes is, as the most superficial observation shows, in many respects in plain contradiction with mathematics. It is, however, wrong to remove the foundations of a science unless you can replace them with others more convincing.
And, secondly, the same theory which composes solids of planes clearly composes planes of lines and lines of points, so that a part of a line need not be a line. This matter has been already considered in our discussion of movement, where we have shown that an indivisible length is impossible.
- ἄτομος (indivisible)
- στερεὰ (solid)
- ἐπιπέδων (plane)
- γραμμῶν (line)
- στιγμὰς (spot, point)
- τόπος (place)
- σῶμα (body)
Part-Whole Theory
编辑- "the parts are causes of the whole"[15]
参考资料
编辑- ^ 论天体，第三册，Thomas Aquinas 翻译与注解
- ^ 论天体，第三册，The Internet Classics Archive
- ^ Ancient Atomism, 3. Plato and Platonists, Stanford Encyclopedia of Philosophy
- ^ 几何原本，原文第一册，定义一，柏修斯数位图书馆
- ^ Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive
- ^ Euclid, Elements
- ^ Wiktionary: نقطة
- ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition
- ^ 几何原本，原文第一册，定义一，柏修斯数位图书馆
- ^ Euclid, Elements
- ^ Wiktionary: نقطة
- ^ Euclid's Elements in the middle ages, Boethius tradition
- ^ Wiktionary: punctum
- ^ On the Heavens, by Thomas Aquinas
- ^ Metaphysics, Book V, The Internet Classics Archive
外部链接
编辑- G4592 σημεῖον - Strong's Greek Lexicon Number
- Henry George Liddell, Robert Scott, A Greek-English Lexicon: σημεῖον
- How Greek Geometry Denotes Points
- Online Etymology Dictionary - point
- Euclid's Elements in the middle ages
- Euclid's Elements of Geometry: From the Latin Translation of Commandine, by John Keill
- Observations on the Nature of Demonstrative Evidence; with an explanation of certain difficulties occurring in the Elements of Geometry: and Reflections on language, by Thomas Beddoes