ℶ 数

和阿列夫数类似，ℶ 数（读作Beth数）也是一系列超穷基数。

阿列夫数的构造相对复杂，初学者较难掌握，而在连续统假设下，阿列夫数与 ℶ 数等价，下面介绍 ℶ 数的概念：

• 可数集（如自然数集）的基数标记为$\beth _{0}$，下一个 ℶ 数被定义为上一个 ℶ 数的幂集的基数，即：

$\beth _{0}:=\operatorname {card} \left(\mathbb {N} \right)$

$\beth _{1}:=2^{\beth _{0}}=\operatorname {card} \left(P\left(\mathbb {N} \right)\right)$

$\beth _{2}:=2^{\beth _{1}}=\operatorname {card} (P(P(\mathbb {N} )))$

$\beth _{3}:=2^{\beth _{2}}=\operatorname {card} (P(P(P(\mathbb {N} ))))$

等等

定理

对任意的 α 有$\beth _{\alpha }\geqslant \aleph _{\alpha }$，而连续统假设即为$\beth _{1}=\aleph _{1}$乃至$\beth _{\alpha }=\aleph _{\alpha }$。

对 α = 1 的情况，证明分两步：一、ℵ₀ 和 ℵ₁ 之间无其他任何基数；二、ℶ₁ 比 ℶ₀ 大（card(2^X) > card(X)）。

常见叫法

在中国大陆，实数集的基数常被记为 c 或 ℵ ，即 ℵ := ℶ₁，这样连续统假设就常常被表述为 ℵ = ℵ₁．阅读相关读物时应避免混淆。人们在学数学分析（微积分）时常常以为自己时常遇到的是阿列夫数，事实上他们遇到的是 “ℵ”或“c”，即第一个 ℶ 数。