超限数
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超限数是大于所有有限数(但不必为绝对无限)的基数或序数,分别叫做超穷基数(英语:transfinite cardinal number)和超穷序数(英语:transfinite ordinal number)。术语“超限”(transfinite)是康托尔提出的,他希望避免词语无限(infinite)和那些只不过不是有限(finite)的那些对象有关的某些暗含。当时其他的作者少有这些疑惑;现在被接受的用法是称超限基数或序数为无限的。但是术语“超限”仍在使用。
超穷序数可以确定超穷基数,并导出阿列夫数序列。
对于有限数,有两种方式考虑超限数,作为基数和作为序数。不像有限基数和序数,超限基数和超限序数定义了不同类别的数。
- 最小超限序数是ω。
- 第一个超限基数是aleph-0 ,整数的无限集合的势。如果选择公理成立,下一个更高的基数是aleph-1 。如果不成立,则有很多不可比较于aleph-1并大于aleph-0的其他基数。但是在任何情况下,没有基数大于aleph-0并小于aleph-1。
连续统假设声称在aleph-0和连续统(实数的集合)的势之间没有中间基数:就是说,aleph-1是实数集合的势。已经在数学上证实了连续统假设不能被证明为真或假,由于不完备性的影响。
某些作者,比如Suppes、Rubin使用术语超限基数来称呼戴德金无限集合的势,在可以不等于无限基数的上下文中;就是说在不假定可数选择公理成立的上下文中。给定这个定义,下列是等价的:
- 是超限基数。就是说有一个戴德金无限集合A使得A的势是。
- 。
- 。
- 有一个基数使得。
引用
编辑- O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor" (页面存档备份,存于互联网档案馆), MacTutor History of Mathematics archive.
- Patrick Suppes, "Axiomatic Set Theory", Dover, 1972, ISBN 0-486-61630-4
- Jean E. Rubin, "Set Theory for the Mathematician", Holden-Day (San Francisico, 1967)