交集

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集合论数学中,两个集合交集(Intersection)是含有所有既属于又属于的元素,而没有其他元素的集合。

有限交集

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A和 的交集

交集是由公理化集合论分类公理来确保其唯一存在的特定集合  

 

也就是直观上:

  的交集写作“ ”,“对所有    等价于   

例如:集合  的交集为 。数字 不属于素数集合 和奇数集合 的交集。

若两个集合  的交集为,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作: 。例如集合  不相交,写作 

更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合   交集 。交集运算满足结合律。即:

 

任意交集

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以上定义可根据无限并集补集来推广到任意集合的交集。

取一个集合   ,则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合:

 

也就是直观上搜集所有   的集合, 这样的话有:

 

根据一阶逻辑的定理(Ce),也就是:

 

但根据一阶逻辑的等式相关定理,下式:

 

显然是个定理(也就是直观上为真),故:

 

换句话说:

 

那可以做如下的符号定义:

 

称为  任意交集无限交集。也就是直观上“对所有    等价于对任何   的下属集合   ,都有  

例如:

 

类似于无限并集,无限交集的表示符号也有多种

可模仿求和符号记为

 

但大多数人会假设指标集   的存在,换句话说

  

指标集  自然数系   的情况下,更可以仿无穷级数来表示,也就是说:

  

也可以更粗略直观的将   写作 

参见

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