在集合论和数学中,两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集(Intersection)是含有所有既属于 A {\displaystyle A} 又属于 B {\displaystyle B} 的元素,而没有其他元素的集合。
交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} :
也就是直观上:
A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集写作“ A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ”,“对所有 x {\displaystyle x} , x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B} 等价于 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 且 x ∈ B {\displaystyle x\in B} ”
例如:集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 和 { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} 的交集为 { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} 。数字 9 {\displaystyle 9} 不属于素数集合 { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … } {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和奇数集合 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , … } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}} 的交集。
若两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集为空,就是说它们彼此没有公共元素,则他们不相交,写作: A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。例如集合 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} 和 { 3 , 4 } {\displaystyle \{3,4\}} 不相交,写作 { 1 , 2 } ∩ { 3 , 4 } = ∅ {\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing } 。
更一般的,交集运算可以对多个集合同时进行。例如,集合 A , B {\displaystyle A,B} , C {\displaystyle C} 和 D {\displaystyle D} 的交集为 A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ ( B ∩ ( C ∩ D ) ) {\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))} 。交集运算满足结合律。即:
以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。
取一个集合 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} ,则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合:
也就是直观上搜集所有 M c {\displaystyle M^{c}} 的集合, 这样的话有:
根据一阶逻辑的定理(Ce),也就是:
但根据一阶逻辑的等式相关定理,下式:
显然是个定理(也就是直观上为真),故:
换句话说:
那可以做如下的符号定义:
称为 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有 x {\displaystyle x} , x ∈ ⋂ M {\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}} 等价于对任何 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下属集合 M {\displaystyle M} ,都有 x ∈ M {\displaystyle x\in M} ”
例如:
类似于无限并集,无限交集的表示符号也有多种
可模仿求和符号记为
但大多数人会假设指标集 I {\displaystyle I} 的存在,换句话说
在指标集 I {\displaystyle I} 是自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下,更可以仿无穷级数来表示,也就是说:
也可以更粗略直观的将 ⋂ i = 1 ∞ A ( i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)} 写作 A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ … {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots } 。