代数拓扑 中，万有系数定理 建立了同调群（或上同调群）与不同系数的关系。例如，对每个拓扑空间 X ，其整同调群是：
H
i
(
X
;
Z
)
{\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}
对任何阿贝尔群 A ，都能完全确定其系数在A 中的同调群：
H
i
(
X
;
A
)
{\displaystyle H_{i}(X;\ A)}
其中
H
i
{\displaystyle H_{i}}
单纯同调 或更一般的奇异同调 。此结果的一般证明是关于自由阿贝尔群 链复形 的纯同调代数 ，结果的形式是，可以使用其他系数 A ，代价是使用Tor函子 。
例如，通常取A 为
Z
/
2
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
扭化 的情形下，这就变得简单明了了。一般来说，这结果表明了X 的贝蒂数
b
i
{\displaystyle b_{i}}
F 域 中的系数的贝蒂数
b
i
,
F
{\displaystyle b_{i,\ F}}
F 的特征 是素数 p 、且同调中存在某种p -扭化时，才会有所不同。
考虑模的张量积
H
i
(
X
;
Z
)
⊗
A
{\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\otimes A}
Tor函子 的短正合列
0
→
H
i
(
X
;
Z
)
⊗
A
→
μ
H
i
(
X
;
A
)
→
Tor
1
(
H
i
−
1
(
X
;
Z
)
,
A
)
→
0.
{\displaystyle 0\to H_{i}(X;\mathbf {Z} )\otimes A\,{\overset {\mu }{\to }}\,H_{i}(X;A)\to \operatorname {Tor} _{1}(H_{i-1}(X;\mathbf {Z} ),A)\to 0.}
其中μ 是双射
H
i
(
X
;
Z
)
×
A
→
H
i
(
X
;
A
)
{\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )\times A\to H_{i}(X;\ A)}
分裂 ，虽然不是自然分裂。
若系数环A 是
Z
/
p
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }
伯克斯坦谱序列 的一个特例。
令G 为主理想域R （如
Z
{\displaystyle \mathbb {Z} }
还有一个涉及Ext函子 的上同调 的万有系数定理
0
→
Ext
R
1
(
H
i
−
1
(
X
;
R
)
,
G
)
→
H
i
(
X
;
G
)
→
h
Hom
R
(
H
i
(
X
;
R
)
,
G
)
→
0.
{\displaystyle 0\to \operatorname {Ext} _{R}^{1}(H_{i-1}(X;R),G)\to H^{i}(X;G)\,{\overset {h}{\to }}\,\operatorname {Hom} _{R}(H_{i}(X;R),G)\to 0.}
与同调情形一样，序列会分裂，虽然不是自然分裂。
事实上，假设
H
i
(
X
;
G
)
=
ker
∂
i
⊗
G
/
im
∂
i
+
1
⊗
G
{\displaystyle H_{i}(X;G)=\ker \partial _{i}\otimes G/\operatorname {im} \partial _{i+1}\otimes G}
并定义：
H
∗
(
X
;
G
)
=
ker
(
Hom
(
∂
,
G
)
)
/
im
(
Hom
(
∂
,
G
)
)
.
{\displaystyle H^{*}(X;G)=\ker(\operatorname {Hom} (\partial ,G))/\operatorname {im} (\operatorname {Hom} (\partial ,G)).}
则上面的h 就是规范映射：
h
(
[
f
]
)
(
[
x
]
)
=
f
(
x
)
.
{\displaystyle h([f])([x])=f(x).}
另一种观点是用艾伦伯格–麦克莱恩空间 表示上同调，当中h 将X 到
K
(
G
,
i
)
{\displaystyle K(G,\ i)}
伴随 于同调函子 。[ 1]
令
X
=
P
n
(
R
)
{\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}
实射影空间 。计算X 的系数在
R
=
Z
/
2
Z
{\displaystyle R=\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }
已知，整数同调由下式给出：
H
i
(
X
;
Z
)
=
{
Z
i
=
0
or
i
=
n
odd,
Z
/
2
Z
0
<
i
<
n
,
i
odd,
0
otherwise.
{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )={\begin{cases}\mathbf {Z} &i=0{\text{ or }}i=n{\text{ odd,}}\\\mathbf {Z} /2\mathbf {Z} &0<i<n,\ i\ {\text{odd,}}\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
有
E
x
t
(
R
,
R
)
=
R
,
E
x
t
(
Z
,
R
)
=
0
{\displaystyle {\rm {Ext}}(R,\ R)=R,\ {\rm {Ext}}(\mathbb {Z} ,\ R)=0}
∀
i
=
0
,
…
,
n
:
H
i
(
X
;
R
)
=
R
.
{\displaystyle \forall i=0,\ldots ,n:\qquad \ H^{i}(X;R)=R.}
事实上，总上同调环 结构是
H
∗
(
X
;
R
)
=
R
[
w
]
/
⟨
w
n
+
1
⟩
.
{\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}
定理的一个特例是计算整上同调。对有限CW复形X ，
H
i
(
X
;
Z
)
{\displaystyle H_{i}(X;\ \mathbb {Z} )}
H
i
(
X
;
Z
)
≅
Z
β
i
(
X
)
⊕
T
i
,
{\displaystyle H_{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i},}
其中
β
i
(
X
)
{\displaystyle \beta _{i}(X)}
X 的贝蒂数 ，
T
i
{\displaystyle T_{i}}
H
i
{\displaystyle H_{i}}
Hom
(
H
i
(
X
)
,
Z
)
≅
Hom
(
Z
β
i
(
X
)
,
Z
)
⊕
Hom
(
T
i
,
Z
)
≅
Z
β
i
(
X
)
,
{\displaystyle \operatorname {Hom} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Hom} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Hom} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},}
且
Ext
(
H
i
(
X
)
,
Z
)
≅
Ext
(
Z
β
i
(
X
)
,
Z
)
⊕
Ext
(
T
i
,
Z
)
≅
T
i
.
{\displaystyle \operatorname {Ext} (H_{i}(X),\mathbf {Z} )\cong \operatorname {Ext} (\mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)},\mathbf {Z} )\oplus \operatorname {Ext} (T_{i},\mathbf {Z} )\cong T_{i}.}
这给出了整上同调的如下声明：
H
i
(
X
;
Z
)
≅
Z
β
i
(
X
)
⊕
T
i
−
1
.
{\displaystyle H^{i}(X;\mathbf {Z} )\cong \mathbf {Z} ^{\beta _{i}(X)}\oplus T_{i-1}.}
对于有向闭连通n 维流形 X ，这一推论与庞加莱对偶性 相结合，得出
β
i
(
X
)
=
β
n
−
i
(
X
)
{\displaystyle \beta _{i}(X)=\beta _{n-i}(X)}
对具有扭系数 的（上）同调，有万有系数定理的推广。对于上同调，有
E
2
p
,
q
=
E
x
t
R
q
(
H
p
(
C
∗
)
,
G
)
⇒
H
p
+
q
(
C
∗
;
G
)
{\displaystyle E_{2}^{p,q}=Ext_{R}^{q}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H^{p+q}(C_{*};G)}
其中R 是单位环 ，
C
∗
{\displaystyle C_{*}}
R 上自由模的链复形，G 是某单位环S 的任意
(
R
,
S
)
{\displaystyle (R,S)}
E
x
t
{\displaystyle {\rm {Ext}}}
Ext群 。微分
d
r
{\displaystyle {\rm {d}}^{r}}
(
1
−
r
,
r
)
{\displaystyle (1-r,\ r)}
同调也类似
E
p
,
q
2
=
T
o
r
q
R
(
H
p
(
C
∗
)
,
G
)
⇒
H
∗
(
C
∗
;
G
)
{\displaystyle E_{p,q}^{2}={\rm {Tor}}_{q}^{R}(H_{p}(C_{*}),G)\Rightarrow H_{*}(C_{*};G)}
其中
T
o
r
{\displaystyle {\rm {Tor}}}
Tor群 ，微分
d
r
{\displaystyle {\rm {d}}_{r}}
(
r
−
1
,
−
r
)
{\displaystyle (r-1,\ -r)}
![{\displaystyle h([f])([x])=f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f164abcf136148c7617c1fa33724d5d15f84e34a)
![{\displaystyle H^{*}(X;R)=R[w]/\left\langle w^{n+1}\right\rangle .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d157a57a3d18481ce6894dce2ac310cf8369ad82)
