拓扑空间(英语:Topological space)是一种赋予“一点附近”这个概念的抽象数学结构;拓扑空间也是一个集合,其元素称为点,由此可以定义出如收敛连通连续等概念。拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用,是一个居于中心地位的、统一性的概念。拓扑空间有独立研究的价值,研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学

定义动机

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拓扑结构最实用的动机,在于怎么去定义“一点的附近”,用以定义函数极限

对于度量空间   内的任一点  ,可定义中心为  ,半径为  开球

 

然后把开球视为点   附近的“开放边界区域”。但考虑到“区域”应该是有任意形状的,那一般的“开放边界区域”,应该是任取里面的点   ,都会有一个够小的开球   完全落在这个区域里,也就是说,可以定义  开子集   为满足如下条件的子集合

 

这样定义的开集有一些有趣的性质:

(1) 任二开集的交集也是开集

任取两个   的开子集   ,若   ,根据定义存在   使得

 
 

这样若取   ,则会有:

 

也就是说,   也是个开集。

(2) 任意个开集的并集也会是开集

  是一群开集所构成的集合,也就是说

 

如果取

 

换句话说:

 

这样的话,显然有

 

所以   也会是一个开集。

以上的性质促使人们在不依托度量情况下,去定义一个描述“一点的附近”的结构,换句话说,去抽象的定义一群开集是这么样的特殊集合,任二开集的交集是开的且任意开集的并集也是开的

正式定义

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上图为三点集合{1,2,3}上四个拓扑的例子和两个反例。左下角的集合并不是个拓扑空间,因为缺少{2}和{3}的并集{2,3};右下角的集合也不是个拓扑空间,因为缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。

拓扑结构一词涵盖了开集系闭集系邻域系开核闭包导集滤子等若干概念。可以从这些概念出发,给出若干种等价结构,但大部分书籍都以开集系为准。

开集系

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根据定义动机一节可以作如下的定义:

  的子集   若满足以下开集公理

正式定义 直观解释
    本身和空集合也是开的
  有限个开集的交集也是开的
  任意个开集的并集也是开的

则称   为   的开集系(其中的元素称为开集)或拓扑  则被称为一拓扑空间  内的元素   则称为拓扑空间  

开集系的代号   是字母“O”的德文尖角体,取名自德语形容词offen”(开的)。

从开集系出发定义其它概念:(   的子集)

  • 闭集:若   是开集,则称   是闭集。
  • 邻域:若存在开集   使得   ,则称   是点   的邻域。
  • 开核 开核(或内部  定义为  内所有开集之并,也就是
     


闭集系

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  的子集   若满足如下闭集公理

正式定义 直观解释
    本身和空集合也是闭的
  有限个闭集的并集是闭的
  任意个闭集的交集是闭的

则称   闭集系(其中的元素称为闭集)。

开集系的代号   是字母“ F” 的德文尖角体,取名自法语动词fermer”(关闭)的过去分词fermé”(封闭的)。

根据德摩根定理量词符号的意义,以下的子集族

 

为开集系,类似地,对于开集系   ,以下的子集族

 

为闭集系,所以闭集系跟拓扑是等价的结构

从闭集系出发定义其它概念:(   的子集)

  • 开集  是闭集,则称   是开集。
  • 闭包  的闭包  定义为包含A的所有闭集之交,也就是
     

邻域系

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函数    幂集的幂集,也就是由所有子集所构成的集合)若对任意   满足如下邻域公理

正式定义 直观解释
    属于   的任意元素(  里的元素都是   的邻域)
    的任二邻域的交集也是   的邻域
  包含任何   的邻域的任意子集也是   的邻域
    的每个邻域内有个   的邻域,使的大邻域都是小邻域里面点的领域

这样任意   被称为  邻域系  里的元素   则称为  邻域

换句话说,函数    的每个点   映射至   ,而   则是所有   的邻域所构成的集族。

邻域系的代号   是字母“ U” 的德文尖角体,取名自德语动词umgeben”(环绕)的名词化Umgebung”(周围、环境)。

若取以下的子集族

 

因为   包含任意邻域,   本身显然为任意   的领域,故   ;另外空集合   没有任何属于它的点,所以根据实质条件的意义 

若取   ,根据邻域公理的第二项有   ;若取   ,且   ,那换句话说

 

这样的话有

 

那这样根据邻域公理第三项, ,所以   的确是个开集合系。

类似地对于开集系   ,若对任意  

 

  也会符合上面四款邻域系公理(注意到第四项取   ),所以对所有   定义了邻域系等同于定义了一个拓扑

从邻域系出发定义其它概念:(   的子集)

  • 开集:对任意   ,有  ,则称   是开集。(开集本身是它所有点的邻域)
  • 开核 (开核里的每一点,都有一个包含于   的领域。)
  • 闭包 。(闭包里每一点的领域,都跟   有交集。)

闭包公理

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 的幂集 上的一元运算 (即将 的子集A映射为 的子集 )称为闭包运算(像称为原像的闭包)。当且仅当运算 满足下述的闭包公理

  • A1 
  • A2 
  • A3 
  • A4 

集合 的闭包通常记为 

从闭包出发定义其它概念:

  • 闭包定义闭集 的子集 是闭集,当且仅当 
  • 闭包定义开核 的子集 的开核 
  • 闭包定义邻域 的子集 是点 的邻域,当且仅当 

开核公理

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 的幂集 上的一元运算 (即将 的子集A映射为 的子集 )称为开核运算(像称为原像的开核内部)。当且仅当运算 满足如下开核公理

  • I1 
  • I2 
  • I3 
  • I4 

集合 的开核通常记为 。 (显然,开核运算是闭包运算的对偶概念)。

从开核出发定义其它概念:

  • 开核定义开集 的子集 是开集,当且仅当 
  • 开核定义邻域 的子集 是点 的邻域,当且仅当 
  • 开核定义闭包 的子集 的闭包 

导集公理

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 的幂集 上的一元运算 (即将 的子集 映射为 的子集 )称为导集运算(像称为原像的导集),当且仅当 满足以下导集公理

  • D1 
  • D2 
  • D3 
  • D4 

从导集出发定义其它概念:

  • 导集定义闭集 的子集 是闭集,当且仅当 


拓扑之间的关系

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同一个全集可以拥有不同的拓扑,有些是有用的,有些是平庸的,这些拓扑之间可以形成一种偏序关系。当拓扑 的每一个开集都是拓扑 的开集时,称拓扑 比拓扑 ,或称拓扑 比拓扑 

仅依赖于特定开集的存在而成立的结论,在更细的拓扑上依然成立;类似的,仅依赖于特定集合不是开集而成立的结论,在更粗的拓扑上也依然成立。

最粗的拓扑是由空集和全集两个元素构成的拓扑,最细的拓扑是离散拓扑,这两个拓扑都是平庸的。

在有些文献中,我们也用大小或者强弱来表示这里粗细的概念。

连续映射与同胚

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类似定义拓扑空间,连续映射也有基于开集,闭集,开核,闭包和邻域等概念的等价定义。

定义 — 
   都是拓扑空间,如果函数   满足:

 

  -  连续

若更进一步, 双射而有反函数    -  连续,则称   -  同胚映射,且称   是同胚的。

性质

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  •  对任何闭集的原像是闭集。
  • 对点 的任一邻域 ,都存在点 的一个邻域 ,使得 ,则称 在点 连续,而连续映射即点点连续的映射。
  • 对任一集合  成立。
  • 对任一集合  成立。

拓扑空间范畴

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拓扑空间作为对象,连续映射作为态射,构成了拓扑空间范畴,它是数学中的一个基础性的范畴。试图通过不变量来对这个范畴进行分类的想法,激发和产生了整个领域的研究工作,包括同伦论同调论K-理论

相关概念

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基本概念

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给定拓扑空间 ,A是X的子集,有以下概念(继续使用上面的符号):

内部,内点
A的开核o(A)又称为A的内部,其元素称为A的内点
外部,外点
X - c(A)称为A的外部,其元素称为A的外点
边界,边界点
c(A)∩c(X-A)称为A的边界,其元素称为A的边界点
触点
A的闭包c(A)中的点称为A的触点
稠密性,稠密集
称A在X中是稠密的(或称稠密集),当且仅当c(A) = X。
边缘集
称A是X的边缘集,当且仅当X-A在X中是稠密的。
疏性,疏集
称A在X中是疏的(或称疏集),当且仅当c(A)是X中的边缘集。
第一范畴集,第二范畴集
称A是X中的第一范畴集,当且仅当A可以表示为可数个疏集的并。称A是X中的第二范畴集,当且仅当A不是X中的第一范畴集。
聚点,导集
X中的点x称为A的聚点,当且仅当x ∈ c(A - {x})(或者等价地,x的任意邻域至少包含x以外的A的一个点)。A的所有聚点组成的集合称为A的导集
孤立点
A中的点x称为A的孤立点,当且仅当它不是A的聚点。
孤点集,离散集
称A为孤点集离散集,当且仅当A中所有的点都是A的孤立点。
自密集
称A为自密集,当且仅当A中的点都是A的聚点(等价地,A中没有A的孤立点)。
完备集
称A为完备集,当且仅当A等于其导集。
自密核
A的最大自密子集称为A的自密核
无核集
称A是无核集,当且仅当A的自密核是∅(或等价地,A的任意非空子集都含有孤立点)。

的目的在推广序列及极限,网的收性称作Moore-Smith收敛。其关键在于以有向集合代替自然数集 

空间 上的一个网 是从有向集合 映至 的映射。

若存在 ,使得对每个 的邻域 都存在 ,使得 ,则称网 收敛至 

几乎所有点集拓扑学的基本概念都能表述作网的收敛性,请参阅主条目

拓扑空间的例子

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  • 实数R构成一个拓扑空间:全体开区间构成其上的一组拓扑基,其上的拓扑就由这组基来生成。这意味着实数集R上的开集是一组开区间的并(开区间的数量可以是无穷多个,但进一步可以证明,所有的开集可以表示为可数个互不相交的开区间的并)。从许多方面来说,实数集都是最基本的拓扑空间,并且它也指导着我们获得对拓扑空间的许多直观理解;但是也存在许多“奇怪”的拓扑空间,它们有悖于我们从实数集获得的直观理解。
  • 更一般的,n维欧几里得空间Rn构成一个拓扑空间,其上的开集就由开球来生成。
  • 任何度量空间都可构成一个拓扑空间,如果其上的开集由开球来生成。这中情况包括了许多非常有用的无穷维空间,如泛函分析领域中的Banach空间希尔伯特空间
  • 任何局部域都自然地拥有一个拓扑,并且这个拓扑可以扩张成为这个域上的向量空间
  • 除了由全体开区间生成的拓扑之外,实数集还可以赋予另外一种拓扑—下限拓扑(lower limit topology)。这种拓扑的开集由下列点集构成—空集、全集和由全体半开区间[a, b)生成的集合。这种拓扑严格地细于上面定义的欧几里得拓扑;在这种拓扑空间中,一个点列收敛于一点,当且仅当,该点列在欧几里得拓扑中也收敛于这个点。这样我们就给出了一个集合拥有不同拓扑的示例。
  • 流形都是一个拓扑空间。
  • 每一个单形都是一个拓扑空间。单形是一种在计算几何学中非常有用的凸集。在0、1、2和3维空间中,相应的单形分别是线段三角形四面体
  • 每一个单纯复形都是一个拓扑空间。一个单纯复形由许多单形构成。许多几何体都可以通过单纯复形—来建立模型,参见多胞形(Polytope)。
  • 扎里斯基拓扑是一种纯粹由代数来定义的拓扑,这种拓扑建立在某个环的交换环谱之上或者某个代数簇之上。对Rn或者Cn来说,相应扎里斯基拓扑定义的闭集,就是由全体多项式方程的解集合构成。
  • 线性图是一种能推广的许多几何性质的拓扑空间。
  • 泛函分析中的许多算子集合可以获得一种特殊的拓扑,在这种拓扑空间中某一类函数序列收敛于零函数。
  • 任何集合都可以赋予离散拓扑。在离散拓扑中任何一个子集都是开集。在这种拓扑空间中,只有常数列或者网是收敛的。
  • 任何集合都可以赋予平庸拓扑。在平庸拓扑中只有空集和全集是开集。在这种拓扑空间中,任和一个序列或者网都收敛于任何一个点。这个例子告诉我们,在某些极端情况下,一个序列或者网可能不会收敛于唯一的一个点。
  • 有限补拓扑。设X是一个集合。X的所有有限子集补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为有限补空间。有限补空间是这个集合上最小的T1拓扑。
  • 可数补拓扑。设X是一个集合。X的所有可数子集补集加上空集,构成X上的一个拓扑。相应的拓扑空间称为可数补空间
  • 如果Γ是一个序数,则集合[0, Γ]是一个拓扑空间,该拓扑可以由区间(a, b]生成,此处ab是Γ的元素。

例子

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  1. X = {1,2,3,4} 和 X 内两个子集组成的集族 τ = {, X} 会形成一个平庸拓扑。
  2. X = {1,2,3,4} 和 X 内六个子集组成的集族 τ = {,{2},{1,2},{2,3},{1,2,3},{1,2,3,4}} 会形成另一个拓扑。
  3. X = (整数集合)及集族 τ 等于所有的有限整数子集加上  自身不是一个拓扑,因为(例如)所有不包含零的有限集合的并集是无限的,但不是  的全部,因此不在 τ 内。
  4. 1个元素的集上总拓扑数显然只有1个。
  5. 2个元素的集上总拓扑数显然只有4个。
  6. 3个元素的集上总拓扑数只有29个。
  7. 4个元素的集上总拓扑数只有355个。
  8. n个元素的集上总拓扑数规律还在研究中,不过已取得些成果。参见OEIS-A000798说明

3点集 X={a,b,c}的拓扑总共有29个,可分为九类,具体如下:

  1. {∅, X}
  2. {∅,{a},X},{∅,{b},X},{∅,{c},X}
  3. {∅,{a,b},X},{∅,{a,c},X},{∅,{b,c},X}
  4. {∅,{a},{b,c},X},{∅,{b},{a,c},X},{∅,{c},{a,b},X}
  5. {∅,{a},{a,b},X},{∅,{a},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},X},{∅,{b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},X},{∅,{c},{b,c},X}
  6. {∅,{a},{a,b},{a,c},X},{∅,{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{c},{a,c},{b,c},X}
  7. {∅,{a},{b},{a,b},X},{∅,{a},{c},{a,c},X},{∅,{b},{c},{b,c},X}
  8. {∅,{a},{b},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{b},{a,b},{b,c},X},{∅,{a},{c},{a,b},{a,c},X},{∅,{a},{c},{a,c},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,b},{b,c},X},{∅,{b},{c},{a,c},{b,c},X}
  9. {∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},X}

拓扑空间的构造

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  • 拓扑空间的任何一个子集都可以被赋予一个子空间拓扑,子空间拓扑中的开集是全空间上的开集和子空间的交。
  • 对任何非空的拓扑空间族,我们可以构造出这些拓扑空间的积上的拓扑,这种拓扑称为积拓扑。对于有限积来说,积空间上的开集可以由空间族中各个空间的开集的积生成出来。
  • 商拓扑可以被如下地定义出来:若X是一个拓扑空间,Y是一个集合,如果f : X  →  Y是一个满射,那么Y获得一个拓扑;该拓扑的开集可如此定义,一个集合是开的,当且仅当它的逆像也是开的。可以利用f自然投影确定下X上的等价类,从而给出拓扑空间X上的一个等价关系
  • Vietoris拓扑

拓扑空间的分类

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依据点和集合分离的程度、大小、连通程度、紧性等。可以对拓扑空间进行各种各样的分类。并且由于这些分类产生了许多不同的术语。

以下假设X为一个拓扑空间。

分离公理

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详细资料请参照分离公理以及相关条码。有些术语在老的文献中采用了不同地定义方式,请参照分离公理的历史

拓扑不可区分性
X中两个点x,y称为拓扑不可区分的,当且仅当如下结论之一成立:
  • 对X中每个开集U,或者U同时包含x,y两者,或者同时不包含它们。
  • x的邻域系和y的邻域系相同。
  •  ,且 

可数公理

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可分的
X称为可分,当且仅当它拥有一个可数稠密子集。
第一可数
X称为第一可数,当且仅当其任何一个点都有一个可数的局部基。
第二可数
X称为第二可数,当且仅当其拥有一个可数的基。

连通性

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连通
X称为连通,当且仅当它不是两个无交的非空开集的并。(或等价地,该空间的闭开集(既开又闭的集合)只有空集和全空间两者)。
局部连通
X称为局部连通,当且仅当它的每个点都存在一个特殊的局部基,这个局部基由连通集构成。
完全不连通
X称为完全不连通,当且仅当不存在多于一个点的连通子集。
道路连通
X称为道路连通,当且仅当其任意两点xy,存在从xy的道路p,也即,存在一个连续映射p: [0,1] → X,满足p(0)= xp(1)= y。道路连通的空间总是连通的。
局部道路连通
X称为局部道路连通,当且仅当其每个点都有一个特殊的局部基,这个局部基由道路连通集构成。一个局部道路连通空间是连通的,当且仅当它是道路连通的。
单连通
X称为单连通,当且仅当它是道路连通且每个连续映射 都与常数映射同伦
可缩
X称为可缩,当且仅当它同伦等价到一点。
超连通
X称为超连通的,当且仅当任两个非空开集的交集非空。超连通蕴含连通。
极连通
X称为极连通的,当且仅当任两个非空闭集的交集非空。极连通蕴含道路连通。
平庸的
X称为平庸的,当且仅当其开集只有本身与空集。

紧性

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(详细资料请参照紧集

紧性
X称为紧的,当且仅当其任意开覆盖都有有限开覆盖的加细。
林德洛夫性质
X称为拥有林德洛夫性质,当且仅当其任意开覆盖都有可数开覆盖的加细。
仿紧
X称为仿紧的,当且仅当其任意开覆盖都有局部有限开覆盖的加细。
可数紧
X称为可数紧的,当且仅当其任意可数开覆盖都有限开覆盖的加细。
列紧
X称为可数紧的,当且仅当其任意点列都包含收敛子列。
伪紧
X称为伪紧的,当且仅当其上的任意实值连续函数都有界。

可度量化

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可度量性意味着可赋予空间一个度量,使之给出该空间的拓扑。目前已有许多版本的度量化定理,其中最著名的是Urysohn度量化定理:一个第二可数的正则豪斯多夫空间可被度量化。由此可导出任何第二可数的流形皆可度量化。

拥有代数结构的拓扑空间

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对于任一类代数结构,我们都可以考虑其上的拓扑结构,并要求相关的代数运算是连续映射。例如,一个拓扑群 乃是一个拓扑空间配上连续映射 (群乘法)及 (逆元),使之具备群结构。

同样地,可定义拓扑向量空间为一个赋有拓扑结构的向量空间,使得加法与纯量乘法是连续映射,这是泛函分析的主题;我们可以类似地定义拓扑环、拓扑域等等。

结合拓扑与代数结构,往往可以引出相当丰富而实用的理论,例如微分几何探究的主齐性空间。在代数数论代数几何中,人们也常定义适当的拓扑结构以简化理论,并得到较简明的陈述;如数论中的局部域(一种拓扑域),伽罗瓦理论中考虑的Krull拓扑(一种特别的拓扑群),以及定义形式概形所不可少的I-进拓扑(一种拓扑环)等等。

拥有序结构的拓扑空间

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拓扑空间也可能拥有自然的序结构,例子包括:

  • 谱空间(spectral space)上的序结构。
  • 特殊化预序:定义 。常见于计算机科学


外部链接

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n个元素的集上总拓扑数规律

参考书目

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  • John L. Kelley, General Topology (GTM 27). Springer-Verlag. ISBN 0387901256.
  • James R. Munkres, Topology (second edition). Prentice Hall; ISBN 0131816292.