三尖瓣线(tricuspoid)也称为施泰纳曲线(Steiner curve),是有三个尖点圆内螺线,是一个圆绕着直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时,圆上一点产生的一般旋轮线

红色的即为三尖瓣线

三尖瓣线也可以指有三个顶点,之间用向内弯曲的曲线相连的封闭空间,因此三尖瓣线内的空间是非凸集合[1]

方程式

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三尖瓣线可以用以下的参数方程表示:

 
 

其中a是小圆的半径,b是大圆(也就是小圆在其内侧无滑动滚动)的半径(此处b = 3a)。

在复变座标下可得

 .

上述的t可以消去,得到以下的笛卡尔座标下的方程

 

因此三尖瓣线是四阶的代数曲线,在极坐标下为

 

曲线有三个奇点,是对应 的尖点。上述的参数式意味者曲线为有理曲线,也就表示其几何亏格英语geometric genus为零。

三尖瓣线的对偶曲线英语dual curve

 

在原点有一个二重点,若进行一个虚轴上的旋转y ↦ iy,曲线会变为下式,就可以看到其二重点

 

在实平面的原点上有二重点。

面积及周长

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三尖瓣线的面积为 ,其中a为小圆的半径,其面积是小圆面积的两倍[2]

其周长为16a[2]

历史

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早在1599年时,伽利略·伽利莱马兰·梅森就已开始研究常见的摆线,而奥勒·罗默在1674年研究齿轮的最佳外形时,也有用到摆线。李昂哈德·欧拉认为他是最早(1745年)将三尖瓣线应用在实际光学问题的人。

应用

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三尖瓣线有应用在许多的数学领域中,举例如下:

相关条目

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参考资料

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  1. ^ 1.0 1.1 存档副本. [2017-10-24]. (原始内容存档于2017-11-21). 
  2. ^ 2.0 2.1 Weisstein, Eric W. "Deltoid." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html页面存档备份,存于互联网档案馆
  3. ^ Lockwood
  4. ^ Dunn, J. A., and Pretty, J. A., "Halving a triangle," Mathematical Gazette 56, May 1972, 105-108.