三尖瓣线

三尖瓣线（tricuspoid）也称为施泰纳曲线（Steiner curve），是有三个尖点的圆内螺线，是一个圆绕著直径为其三倍的圆内侧无滑动滚动时，圆上一点产生的一般旋轮线

红色的即为三尖瓣线

三尖瓣线也可以指有三个顶点，之间用向内弯曲的曲线相连的封闭空间，因此三尖瓣线内的空间是非凸集合。

方程式

三尖瓣线可以用以下的参数方程表示：

$x=(b-a)\cos(t)+a\cos \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,$

$y=(b-a)\sin(t)-a\sin \left({\frac {b-a}{a}}t\right)\,,$

其中a是小圆的半径，b是大圆（也就是小圆在其内侧无滑动滚动）的半径（此处b = 3a）。

在复变座标下可得

$z=2ae^{it}+ae^{-2it}$.

上述的t可以消去，得到以下的笛卡尔座标下的方程

$(x^{2}+y^{2})^{2}+18a^{2}(x^{2}+y^{2})-27a^{4}=8a(x^{3}-3xy^{2}),\,$

因此三尖瓣线是四阶的代数曲线，在极坐标下为

$r^{4}+18a^{2}r^{2}-27a^{4}=8ar^{3}\cos 3\theta \,.$

曲线有三个奇点，是对应$t=0,\,\pm {\tfrac {2\pi }{3}}$的尖点。上述的参数式意味者曲线为有理曲线，也就表示其几何亏格为零。

三尖瓣线的对偶曲线为

$x^{3}-x^{2}-(3x+1)y^{2}=0,\,$

在原点有一个二重点，若进行一个虚轴上的旋转y ↦ iy，曲线会变为下式，就可以看到其二重点

$x^{3}-x^{2}+(3x+1)y^{2}=0\,$

在实平面的原点上有二重点。

面积及周长

三尖瓣线的面积为$2\pi a^{2}$，其中a为小圆的半径，其面积是小圆面积的两倍。

其周长为16a。

历史

早在1599年时，伽利略·伽利莱及马兰·梅森就已开始研究常见的摆线，而奥勒·罗默在1674年研究齿轮的最佳外形时，也有用到摆线。李昂哈德·欧拉认为他是最早（1745年）将三尖瓣线应用在实际光学问题的人。

应用

三尖瓣线有应用在许多的数学领域中，举例如下：

• 三维unistochastic矩阵复数特征值的集合即为三尖瓣线。
• SU(3)群里所有酉矩阵的可能迹的集合会组成三尖瓣线。
• 二个三尖瓣线的交集会形成一群6阶的复数Hadamard矩阵。
• 三角形的所有西姆松线的集合，其包络线会是三尖瓣线。因为雅各布·施泰纳在1856年描述过此曲线的形状及对称性，因此此曲线称为这称为施泰纳三尖瓣线，。
• 三角形面积平分线的包络线会是三尖瓣线，三个顶点是中线的中点。三尖瓣线的三边是双曲线的弧。
• 三尖瓣线属于挂谷集中的挂谷针集合（Kakeya needle set，长度为1的针可以在其中旋转360度），有科学家认为三尖瓣线是挂谷针问题（Kakeya needle problem，面积最小小的挂谷针集合）的解，后来发现不是。

相关条目

• 星形线：有三个尖点的圆内螺线
• 伪三角形
• 勒洛三角形
• 超椭圆

参考资料

• E. H. Lockwood. Chapter 8: The Deltoid. A Book of Curves. Cambridge University Press. 1961. 
• J. Dennis Lawrence. A catalog of special plane curves. Dover Publications. 1972: 131–134. ISBN 0-486-60288-5. 
• Wells D. The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry. New York: Penguin Books. 1991: 52. ISBN 0-14-011813-6. 
• "Tricuspoid" at MacTutor's Famous Curves Index（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• "Deltoid" at MathCurve（页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Sokolov, D.D., Steiner curve, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4