三次互反律 编辑
相关术语
编辑三次互反律最常使用艾森斯坦整数进行表述。艾森斯坦整数是指由形如 的复数组成的环,记作 。其中 和 是整数, 为三次单位根:
定理
编辑如果 是 中范数为 的一个 素数。 与 互素。定义三次剩余符号 为一个三次单位根,并满足
再定义“原初”素数是模 同余于 的素数。由于每个素数在乘以 中的一个单位元后都会成为“原初”素数,因此关于“原初”素数的定律仍具有普遍性。这时,三次互反律说明,对两个不同的“原初”素数 和 ,有
此外有辅助定理:如果 那么:
- 。
由于
因此可以计算任意艾森斯坦整数的三次剩余。
参见
编辑参考来源
编辑- David A. Cox, Primes of the form , Wiley, 1989, ISBN 0-471-50654-0.
- K. Ireland and M. Rosen, A classical introduction to modern number theory, 2nd ed, Graduate Texts in Mathematics 84, Springer-Verlag, 1990.
- Franz Lemmermeyer, Reciprocity laws: From Euler to Eisenstein, Springer Verlag, 2000, ISBN 3-540-66957-4.