单位根

出自复变函数的一个定义

数学上,次单位根1复数。它们位于复平面单位圆上,构成正多边形顶点,但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。

复平面上的三次单位根

定义

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这方程的复数根   次单位根

单位的  次根有  个:

 

本原根

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单位的  次根以乘法构成 循环群。它的生成元是  本原单位根。 次本原单位根是 ,其中  互质 次本原单位根数目为欧拉函数 。 全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。

例子

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一次单位根有一个:  

二次单位根有两个:   ,只有 是本原根。

三次单位根

 

其中 虚数单位;除 外都是本原根。

四次单位根是

 

其中  是本原根。

和式

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 不小于 时, 次单位根总和为 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数

 

第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形重心原点

还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的 项系数为零得出。