单位根
出自复变函数的一个定义
数学上,次单位根是次幂为1的复数。它们位于复平面的单位圆上,构成正多边形的顶点,但最多只可有两个顶点同时标在实数线上。
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定义
编辑这方程的复数根 为 次单位根。
单位的 次根有 个:
- 。
本原根
编辑单位的 次根以乘法构成 阶循环群。它的生成元是 次本原单位根。 次本原单位根是 ,其中 和 互质。 次本原单位根数目为欧拉函数 。 全体i次单位根对普通乘法作成群,即i次单位根群。所有全体i次单位根群在普通乘法下也可作成群,且这是一个无限交换群,这个无限交换群里的每个元素的阶都有限。
例子
编辑一次单位根有一个: 。
二次单位根有两个: 和 ,只有 是本原根。
其中 是虚数单位;除 外都是本原根。
四次单位根是
其中 和 是本原根。
和式
编辑当 不小于 时, 次单位根总和为 。这一结果可以用不同的方法证明。一个基本方法是等比级数:
- 。
第二个证法是它们在复平面上构成正多边形的顶点,而从对称性知这多边形的重心在原点。
还有一个证法利用关于方程根与系数的韦达定理,由分圆方程的 项系数为零得出。