三角化截角四面体
提示：此条目页的主题不是截角三角化四面体。三角化截角四面体是一种凸十六面体，由12个等腰三角形和4个六边形所组成，其可以透过将截角四面体套用三角化变换来构造，也就是在截角四面体的每个三角形面上叠上三角锥来构成。 三角化截角四面体可以独立填满三维空间[1]:209，因此是一种空间填充多面体，由三角化截角四面体重复排列堆砌填满三维空间构成的几何结构称为三角化截角四面体堆砌[2][3]。
 （点选观看旋转模型） | ||
| 类别 | 准面体 | |
|---|---|---|
| 对偶多面体 | 截三阶角三角化四面体 | |
| 数学表示法 | ||
| 康威表示法 | k3tT | |
| 性质 | ||
| 面 | 16 | |
| 边 | 30 | |
| 顶点 | 16 | |
| 欧拉特征数 | F=16, E=30, V=16 （χ=2） | |
| 组成与布局 | ||
| 面的种类 | 4个正六边形 12个等腰三角形 | |
| 对称性 | ||
| 对称群 | Td群 | |
| 特性 | ||
| 凸 | ||
| 图像 | ||
| ||
三角化截角四面体是碳原子在钻石分子结构中沃罗诺伊胞的形状，位于钻石立方晶格结构上[4][5]。 若视作对称空间重复模式的沃罗诺伊胞，则三角化截角四面体是一种准面体。[6]
性质
编辑三角化截角四面体共由16个面、30条边和16个顶点组成，在其16个面中，有4个正六边形和12个等腰三角形。
构造
编辑三角化截角四面体可以透过在截角四面体加入4个顶点，该4个顶点位于截角四面体从四面体被截去的小四面体之几何中心，再将该4个顶点各与最相近的三角形面的顶点相连来构造。简单地说，就是在截角四面体的三角形面上叠上三角锥所构成的立体，叠上的三角锥之锥高为以同三角形底面构成的正四面体之面心到几何中心的距离。[7]
空间填充
编辑三角化截角四面体之所以能够独立完成空间填充是因为有另外一种类似的空间填充——过截角交错立方体堆砌，其由截角四面体和正四面体两种立体共同交错堆砌填满空间。这种几何结构的每个截角四面体周围都相邻了4个正四面体，位于截角四面体的三角形面之位置；每个正四面体周围亦有相邻了4个截角四面体，而三角化截角四面体可以视为截角四面体与正四面体从几何中心的分割组成的立体[7]，而每个正四面体正好分割成四个小三角锥，恰好分配给4个截角四面体；每个截角四面体周围又恰好有4个由正四面体分割成的小三角锥，正好构成一个三角化截角四面体，换句话说，即过截角交错立方体堆砌中的正四面体洽好分割并完全与截角四面体组合成三角化截角四面体，因此三角化截角四面体能够独立完成空间填充。
对偶多面体
编辑
三角化截角四面体的对偶多面体为截三阶角三角化四面体（order-3 truncated triakis tetrahedron），其可以透过将截角四面体的对偶多面体——三角化四面体截去所有3个三角形的公共顶点来构造。截三阶角三角化四面体的外观为每个面叠上锥台的四面体，由12个梯形和4个三角形组成，也是一种十六面体。
参见
编辑参考文献
编辑- ^ Siber, A. and Ziherl, P. Cellular Patterns. CRC Press. 2017. ISBN 9781482259629. LCCN 2017037816.[失效链接]
- ^ Conway, John H.; Burgiel, Heidi; Goodman-Strauss, Chaim. The Symmetries of Things. 2008: 332. ISBN 978-1568812205.
- ^ Grünbaum, B; Shephard, G. C. Tilings with Congruent Tiles. Bull. Amer. Math. Soc. 1980, 3 (3): 951–973 [2023-01-24]. doi:10.1090/s0273-0979-1980-14827-2
. （原始内容存档于2016-03-03）.
- ^ Föppl, L. Der Fundamentalbereich des Diamantgitters. Phys. Z. 1914, 15: 191–193.
- ^ Conway, John. Voronoi Polyhedron. geometry.puzzles. [20 September 2012]. （原始内容存档于2013-08-02）.
- ^ Grünbaum, Branko; Shephard, G. C., Tilings with congruent tiles, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 1980, 3 (3): 951–973, MR 0585178, doi:10.1090/S0273-0979-1980-14827-2 .
- ^ 7.0 7.1 Weisstein, Eric W. (编). Triakis Truncated Tetrahedron. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
