三角形

三角形，又称三边形（英语： Triangle），是由三条线段顺次首尾相连，或不共线的三点两两连接，所组成的一个闭合的平面几何图形，是最基本和最少边的多边形。

三角形（英语： Triangle）
三角形
边	3
顶点	3
施莱夫利符号	{3}（正三角形时）
鲍尔斯缩写	trig
面积	有各种求面积的公式； 见#面积一节
内角和	一百八十度

一般用大写英语字母$A$、$B$和$C$为三角形的顶点标号；用小写英语字母$a$、$b$和$c$表示边；用$\alpha$、$\beta$和$\gamma$给角标号，又或者以$\angle ABC$这样的顶点标号来表示。

分类

以角度分类

锐角三角形	钝角三角形	直角三角形

锐角三角形

锐角三角形的所有内角均为锐角。

钝角三角形

钝角三角形是其中一角为钝角的三角形，其余两角均小于90°。

直角三角形

主条目：直角三角形

有一个角是直角（90°）的三角形为直角三角形。成直角的两条边称为“直角边”（cathetus），直角所对的边是“斜边”（hypotenuse）；或最长的边称为“弦”，底部的一边称作“勾”（又作“句”），另一边称为“股”。斜边乘上斜边上的高÷2=勾股相乘÷2=此直角三角形面积（ch=ab）

三角函数

主条目：三角函数

直角三角形各边与角度的关系，可以三角比表示。

以边长分类

不等边三角形	等边三角形	等腰三角形

不等边三角形

主条目：不等边三角形

三条边边长皆不相等的三角形称为不等边三角形。

等边三角形

主条目：等边三角形

等边三角形（又称正三角形），为三边相等的三角形。其三个内角相等，均为60°。它是锐角三角形的一种。设其边长是 $a$ ，则其面积公式为 ${\frac {a^{2}{\sqrt {3}}}{4}}$ 。

等边三角形是正四面体、正八面体和正二十面体这三个正多面体面的形状。六个边长相同的等边三角形可以拼成一个正六边形。

等腰三角形

主条目：等腰三角形

等腰直角三角形只有一种形状，其中两个角为45度。

等腰三角形是三条边中有两条边相等（或是其中两只内角相等）的三角形。等腰三角形中的两条相等的边被称为“腰”，而另一条边被称为“底边”，两条腰交叉组成的那个点被称为“顶点”，它们组成的角被称为“顶角”。

等边三角形和等腰直角三角形是等腰三角形的特殊形式。

令其底边是 $b$ ，腰是 $a$，则其面积公式为 ${\frac {1}{4}}{b{\sqrt {4a^{2}-b^{2}}}}$ 等腰三角形的对应高，角平分线和中线重合。

退化三角形

参见：退化多边形 § 退化三角形

退化三角形是指面积为零的三角形。满足下列条件之一的三角形即可称为退化三角形：三个内角的度数为(180°,0°,0°)或(90°,90°,0°)；三边其中一条边的长度为0；一条边的长度等于另外两条之和。有人认为退化三角形并不能算是三角形，这是由于它介乎于三角不等式之间，在一些资料中已否定了其中一条边等于其余两条边之和的情况。

勒洛三角形

勒洛三角形（英语：Reuleaux triangle），也译作莱洛三角形或弧三角形，又被称为划粉形或曲边三角形，是除了圆形以外，最简单易懂的勒洛多边形，一个定宽曲线。将一个曲线图放在两条平行线中间，使之与这两平行线相切，则可以做到：无论这个曲线图如何运动，只要它还是在这两条平行线内，就始终与这两条平行线相切。这个定义由十九世纪的德国工程师弗朗茨·勒洛命名。

一般性质

三角不等式

• 三角边长不等式

  三角形两边之和大于第三边，两边之差的绝对值小于第三边。如果两者相等，则是退化三角形。

• 三角内外角不等式

  三角形任意一个外角大于不相邻的一个内角。

角度

• 三角形外角

  三角形两内角之和，等于第三角的外角。

• 三角形内角和

  在欧几里德平面内，三角形的内角和等于180°。

勾股定理

主条目：勾股定理

勾股定理，又称勾股定理或毕达哥拉斯定理。其断言，若直角三角形的其中一边 $c$ 为斜边，即 $c$ 的对角 $\gamma =90^{\circ }$ ，则

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。

勾股定理的逆定理亦成立，即若三角形满足

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，

则

$\gamma =90^{\circ }$

正弦定理

主条目：正弦定理

设 $R$ 为三角形外接圆半径，则

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$

余弦定理

主条目：余弦定理

对于任意三角形：

$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha ,$

$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta ,$

$c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma .$

勾股定理是本定理的特殊情况，即当角 $\alpha =90^{\circ }\,$ 时， $\cos \alpha =0$ ，于是 $a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha$ 化简为 $a^{2}=b^{2}+c^{2}$ 。

全等及相似

全等三角形

主条目：全等三角形

三角形具有稳定性，若二个三角形有以下的边角关系确定后，它的形状、大小就不会改变，二个三角形即为全等三角形。全等三角形的判断准则有以下几种：

• SSS（Side-Side-Side，边、边、边）：各三角形的三条边的长度都对应地相等。
• SAS（Side-Angle-Side，边、角、边）：各三角形的其中两条边的长度都对应地相等，且两条边夹着的角都对应地相等。
• ASA（Angle-Side-Angle，角、边、角）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且两个角夹着的边都对应地相等。
• RHS（Right Angle-Hypotenuse-Side，直角、斜边、边）：在直角三角形中，斜边及另外一条直角边对应地相等。
• AAS（Angle-Angle-Side，角、角、边）：各三角形的其中两个角都对应地相等，且其中一组对应角的对边也对应地相等。

SSA（Side-Side-Angle、边、边、角）不能保证两个三角形全等，除非该角大于等于90°，此时可以保证全等。

相似三角形

• AA（Angle-Angle，角、角）：各三角形的其中两个角的都对应地相等。（或称AAA（Angle-Angle-Angle，角、角、角））
• 三边成比例（3 sides proportional）：各三角形的三条边的长度都成同一比例。
• 两边成比例且夹角相等（ratio of 2 sides, inc.∠）：各三角形的两条边之长度都成同一比例，且两条边之夹角都对应地相等。（或称 2 sides proportional, inc. ∠ equal）

特殊线段

三角形中有着一些特殊线段，是三角形研究的重要对象。

• 中线（median）：三角形一边中点与这边所对顶点的连线段。
• 高线（altitude）：从三角形一个顶点向它的对边所作的垂线段。
• 角平分线（angle bisector）：平分三角形一角、一个端点在这一角的对边上的线段。
• 垂直平分线（perpendicular bisector）：通过三角形一边中点与该边所垂直的线段，又称中垂线。

以上特殊线段，每个三角形均有三条，且三线共点。

中线长度

设在$\Delta ABC\,$中，若三边$a$、$b$、$c\,$的中线分别为$m_{a}$、$m_{b}$、$m_{c}$，则：

$m_{a}={\sqrt {{\frac {1}{2}}b^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}a^{2}}}$

$m_{b}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}c^{2}-{\frac {1}{4}}b^{2}}}$

$m_{c}={\sqrt {{\frac {1}{2}}a^{2}+{\frac {1}{2}}b^{2}-{\frac {1}{4}}c^{2}}}$

高线长度

设在$\Delta ABC\,$中，连接三个顶点$A$、$B$、$C$上的高分别记作$h_{a}$、$h_{b}$、$h_{c}$，则：

$h_{a}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{a}}$

$h_{b}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{b}}$

$h_{c}={\frac {2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}{c}}$

其中 $s={\frac {a+b+c}{2}}$ 。

角平分线长度

设在$\Delta ABC\,$中，若三个角$A$、$B$、$C$的角平分线分别为$t_{a}$、$t_{b}$、$t_{c}$，则：

$t_{a}={\frac {1}{b+c}}{\sqrt {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)bc}}$

$t_{b}={\frac {1}{a+c}}{\sqrt {\left(a+c+b\right)\left(a+c-b\right)ac}}$

$t_{c}={\frac {1}{a+b}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)ab}}$

三角形的心

三角形的内心(Incenter) 、外心(Circumcenter)、垂心(Orthocenter) 及形心(Centroid)称为三角形的四心，定义如下：

名称	定义	图示	备注
内心	三个内角的角平分线的交点		该点为三角形内切圆的圆心。
外心	三条边的中垂线的交点		该点为三角形外接圆的圆心。
垂心	三条高线的交点
形心（重心）	三条中线的交点		被交点划分的线段比例为1:2（靠近角的一段较长）。

关于三角形的四心，有这样的一首诗：

“ 内心全靠角平分，

外心中点垂线伸，
垂心垂直画三高，
形心角连线中心。

”

垂心（蓝）、形心（黄）和外心（绿）能连成一线，且成比例1:2，称为欧拉线，与九点圆的圆心（红）四点共线，为垂心和形心线段的中点。

连同以下的旁心，合称为三角形的五心：

名称	定义	图示	备注
旁心	外角的角平分线的交点		有三个，为三角形某一边上的旁切圆的圆心。

外接圆和内切圆半径

设外接圆半径为$R$ ， 内切圆半径为$r$ ，则：

$R={\frac {abc}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}}={\frac {abc}{4\triangle }}$

$r={\frac {\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(b+c-a\right)\left(a+c-b\right)\left(a+b-c\right)}}{2\left(a+b+c\right)}}={\frac {\triangle }{s}}$

其中$\triangle$为三角形面积；$s$为三角形半周长，$s={\frac {a+b+c}{2}}$

面积

基本公式

三角形的面积 $A$ 是底边 $b$ 与高 $h$ 乘积的一半，即：

$A={\frac {1}{2}}bh$，

其中的高是指底边与对角的垂直距离。

证明

三角形的面积可表示为一长方形面积的一半。

从右图可知，将两个全等三角形相拼，可得一平行四边形。而将该平行四边形分割填补，正好能得到一个面积等于 $bh$ 的长方形。因此原来的三角形面积为

$A={\frac {1}{2}}bh$。

证毕。

已知两边及其夹角

设 $a$ $b$ 为已知的两边， $\gamma$ 为该两边的夹角，则三角形面积是：

$A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$。

证明

三角形的高h能以正弦的定义表示。

观察右图，根据正弦的定义：

$\sin \gamma ={\frac {h}{a}}$。

因此：

$h=a\sin \gamma$。

将此式代入基本公式，可得：

$A={\frac {1}{2}}b(a\sin \gamma )={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$。

证毕。

已知两角及其夹边

$\beta$ 、 $\gamma$ 为已知的两角， $a$ 为该两角的夹边，则三角形面积是：

$A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}$。

证明

三角形的面积能从两角及其夹边求得。

从正弦定理可知：

${\begin{aligned}{\frac {b}{\sin \beta }}&={\frac {a}{\sin \alpha }}\\b&={\frac {a\sin \beta }{\sin \alpha }}\\\end{aligned}}$

代入 $A={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma$ ，得：

$A={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$。

注意到$\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$，因此：

${\begin{aligned}A&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin[180^{\circ }-(\beta +\gamma )]}}\\&={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin(\beta +\gamma )}}\\\end{aligned}}$

证毕。

已知三边长

海龙公式，其表示形式为：

$A={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}$，

其中 $s$ 等于三角形的半周长，即：

$s={\frac {a+b+c}{2}}$

秦九韶亦求过类似的公式，称为三斜求积法：

$A={\sqrt {{\frac {1}{4}}{\left[c^{2}a^{2}-\left({\frac {c^{2}+a^{2}-b^{2}}{2}}\right)^{2}\right]}}}$

也有用幂和来表示的公式：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\\end{aligned}}$

证明

将海伦公式略为变形，知

$16A^{2}=[(a+b)+c][(a+b)-c]\times [c+(a-b)][c-(a-b)]$

多次使用平方差公式，得

${\begin{aligned}16A^{2}&=[(a+b)^{2}-c^{2}]\times [c^{2}-(a-b)^{2}]\\&=[2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\times [2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})]\\&=(2ab)^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}\\&=4a^{2}b^{2}-(a^{4}+b^{4}+c^{4}+2a^{2}b^{2}-2b^{2}c^{2}-2a^{2}c^{2})\\&=(2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\&=2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})\\\end{aligned}}$

等号两边开根号，再同除以4，得

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+a^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}$

亦可用Cayley–Menger行列式表示的公式：

$16\cdot A^{2}=-{\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\\\end{vmatrix}}$

基于海伦公式在三角形拥有非常小的角度时并不数值稳定，有一个变化的计法。设 $a\geq b\geq c$ ，三角形面积为：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {[a+(b+c)][c-(a-b)][c+(a-b)][a+(b-c)]}}$。

证明

设 $a$ 、 $b$、$c$为三角形三条边， $\alpha$ 、 $\beta$ 、 $\gamma$ 为相应边的对角。从余弦定理可知：

$\cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}$

以毕氏三角恒等式可得：

$\sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}$。

将此式代入$A={\frac {1}{2}}ab\sin {\gamma }$，得：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}$。

因式分解及简化后可得：

$A={\frac {1}{4}}{\sqrt {\left(a+b+c\right)\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)\left(b+c-a\right)}}$

代入$s={\frac {a+b+c}{2}}$，即可证毕。

已知坐标系中三顶点坐标

由 $(x_{1},y_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3})$ 三个顶点构成的三角形，其面积可用行列式的绝对值表示：

$A=\left|{\frac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}\right|$

证明

无论三角形的顶点位置如何，该三角形总可以用一个直角梯形（或矩形）和两个直角三角形面积的和差来表示，而在直角坐标系中，已知直角梯形（或矩形）和直角三角形的顶点的坐标，该三角形的面积容易求出，即用上述的行列式表示。

若三个顶点设在三维座标系上，即由 $(x_{1},y_{1},z_{1})$ 、 $(x_{2},y_{2},z_{2})$ 及 $(x_{3},y_{3},z_{3})$ 三个顶点构成三角形，其面积等于各自在主平面上投影面积的毕氏和，即：

$A={\frac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{1}&z_{1}&1\\y_{2}&z_{2}&1\\y_{3}&z_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{1}&x_{1}&1\\z_{2}&x_{2}&1\\z_{3}&x_{3}&1\end{vmatrix}}^{2}}}$

已知周界及内切圆或外接圆半径

设三角形三边边长分别为 $a$ 、 $b$ 及 $c$ ，三角形半周长（ ${\frac {a+b+c}{2}}$ ）为 $s$ ，内切圆半径为 $r$，则：

$A=sr$

若设外接圆半径为 $R$ ，则：

$A={\frac {abc}{4R}}$

证明

内切圆半径公式

三角形被三条角平分线分成三分。

根据右图，设 ${\overline {AB}}=c$ ， ${\overline {AC}}=b$ ， ${\overline {BC}}=a$ ，则三角形面积可表示为：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ar+{\frac {1}{2}}br+{\frac {1}{2}}cr\\&={\frac {r(a+b+c)}{2}}\\&=rs\end{aligned}}$

外接圆半径公式

根据正弦定理：

${\begin{aligned}{\frac {c}{\sin \gamma }}&=2R\\\sin \gamma &={\frac {c}{2R}}\\\end{aligned}}$

因此：

${\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{2}}ab\left({\frac {c}{2R}}\right)\\&={\frac {abc}{4R}}\end{aligned}}$

已知两边向量

设从一角出发，引出两边的向量为 $\mathbf {a}$ 及 $\mathbf {b}$ ，三角形的面积为：

$A={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |$

证明

根据向量积定义，$|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma$， 其中 $\gamma$ 是两支向量的夹角。

因此：

${\frac {1}{2}}|\mathbf {a} \times \mathbf {b} |={\frac {1}{2}}|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\sin \gamma =A$

证毕。

半角定理

在三角形$ABC\,$中，三个角的半角的正切和三边有如下关系：

${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+c-b)(a+b-c)}{(a+b+c)(b+c-a)}}}\\\tan {\frac {B}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}\\\tan {\frac {C}{2}}&={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}\\\end{aligned}}$

证明

以正弦及余弦之比表示正切：

$\tan {\frac {A}{2}}={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}$

因为

$\sin {\frac {A}{2}}>0$

$\tan {\frac {A}{2}}>0$

所以

$\sin {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}$

$={\sqrt {\frac {a^{2}-{\left(b-c\right)}^{2}}{4bc}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(a+b-c\right)\left(a+c-b\right)}{4bc}}}$

而

$\cos {\frac {A}{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos {A}}{2}}}={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)}}$

$={\sqrt {\frac {{\left(b+c\right)}^{2}-a^{2}}{4bc}}}$

$={\sqrt {\frac {\left(b+c+a\right)\left(b+c-a\right)}{4bc}}}$

所以

${\begin{aligned}\tan {\frac {A}{2}}&={\frac {\sin {\frac {A}{2}}}{\cos {\frac {A}{2}}}}\\&={\frac {\sqrt {\cfrac {(a+b-c)(a+c-b)}{4bc}}}{\sqrt {\cfrac {(b+c+a)(b+c-a)}{4bc}}}}\\&={\sqrt {\frac {(a+b-c)(a+c-b)}{(b+c+a)(b+c-a)}}}\end{aligned}}$

同理可得

$\tan {\frac {B}{2}}={\sqrt {\dfrac {(a+b-c)(b+c-a)}{(a+b+c)(a+c-b)}}}$

$\tan {\frac {C}{2}}={\sqrt {\dfrac {(b+c-a)(a+c-b)}{(a+b+c)(a+b-c)}}}$

其他有关三角形的定理

• 外角定理
• 拿破仑三角形
• 费马点
• 欧拉线
• 梅涅劳斯定理
• 枢纽定理
• 维维亚尼定理
• 莫雷角三分线定理

参看

• 三角学
• 三-椭圆形