半连续性

在数学分析中，半连续性是实值函数的一种性质，分成上半连续与下半连续，半连续性较连续性弱。

形式定义

设 $X$ 为拓扑空间，$x_{0}\in X$，而 $f:X\to \mathbb {R}$ 为实值函数。若对每个 ε > 0 都存在 $x_{0}$ 的开邻域 $U$ 使得 $\forall x\in U,\;f(x)<f(x_{0})+\varepsilon$，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 上半连续。该条件也可以用上极限等价地表述：

$\limsup _{x\to x_{0}}f(x)\leq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一点都是上半连续，则称之为上半连续函数。

下半连续性可以准此定义：若对每个 ε > 0 都存在 $x_{0}$ 的开邻域 $U$ 使得 $\forall x\in U,\;f(x)>f(x_{0})-\varepsilon$，则称 $f$ 在 $x_{0}$ 下半连续。用下极限等价地表述为：

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geq f(x_{0})$

若 $f$ 在 $X$ 上的每一点都是下半连续，则称之为下半连续函数。

拓扑基 $]-\infty ,a[\;\;(a\in \mathbb {R} )$ 赋予实数线 $\mathbb {R}$ 较粗的拓扑，上半连续函数可以诠释为此拓扑下的连续函数。若取基为 $]a,+\infty [\;\;(a\in \mathbb {R} )$，则得到下半连续函数。

例子

上半连续但不是下半连续函数的例子（蓝点表 $f(x_{0})$）

考虑函数

$f(x)={\begin{cases}-1&,x<0\\1&,x\geq 0\end{cases}}$

此函数在 $x_{0}=0$ 上半连续，而非下半连续。

下半连续但不是上半连续连续的函数的例子（蓝点表 $f(x_{0})$）

下整数函数 $f(x)=\lfloor x\rfloor$ 处处皆上半连续。同理，上整数函数 $f(x)=\lceil x\rceil$ 处处皆下半连续。

性质

一个函数在一点连续的充要条件是它在该点既上半连续也下半连续。

若 $f,g$ 在某一 点上半连续，则 $f+g$ 亦然；若两者皆非负，则 $fg$ 在该点也是上半连续。若 $f$ 在一点上半连续，则 $-f$ 在该点下半连续，反之亦然。

若 $X$ 为紧集（例如闭区间），则其上的上半连续函数必取到极大值，而下半连续函数必取到极小值。

设 $f_{n}$ 为下半连续函数序列，而且对所有 $x\in X$ 有

$f(x)=\sup _{n}f_{n}(x)<+\infty$

则 $f$ 是下半连续函数。

开集的指示函数为下半连续函数，闭集的指示函数为上半连续函数。

文献

• Gelbaum, Bernard R.; Olmsted, John M.H. Counterexamples in analysis. Dover Publications. 2003. ISBN 0486428753. 

• Hyers, Donald H.; Isac, George; Rassias, Themistocles M. Topics in nonlinear analysis & applications. World Scientific. 1997. ISBN 9810225342.