二元小波转换

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二元小波转换(Dyadic Wavelet Transform)是缩放以二的级数为基底且取样过后的小波转换，但没有时间取样。

定义

$\mathrm {f}$的二元小波转换的定义为：

$Wf(u,2^{i})=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {t-u}{2^{i}}})\mathrm {d} t=f*{\bar {\psi }}_{2^{i}}(u)\,$

其中${\bar {\psi }}_{2^{i}}=\psi _{2^{i}}(-t)={\frac {1}{\sqrt {2^{i}}}}\psi ({\frac {-t}{2^{i}}})\,$

它也定义了一个稳定(stable)、完整(complete)的表示式，如果它的Heisenberg boxes囊括了所有的频率轴，也就是存在一个$\mathrm {A}$和$\mathrm {B}$使得

$\forall \omega \in \mathbb {R} ,\mathrm {A} \leqslant \sum _{i=-\infty }^{\infty }\left|{\hat {\psi (2^{i}u)}}\right|^{2}\leqslant \mathrm {B}$

所有的二元小波都是$L^{2}(R)$ 的 frame (Frames are a stable, possibly redundant, representation of signals.)。

应用

快速二元小波转换 (Fast Dyadic Wavelet Transform, FDWT) 使用与快速小波转换(Fast Wavelet Transform)相同的滤波器进行转换，但是差别在于不需要再进行次采样(subsampling)，时常用在撷取音乐讯号的Onset。

参考资料

• Dyadic Wavelet Transform http://cas.ensmp.fr/~chaplais/Wavetour_presentation/ondelettes%20dyadiques/Dyadic_Transform.html（页面存档备份，存于互联网档案馆）