在概率论 和统计学 中，二项分布 （英语：binomial distribution ）是一种离散 概率分布 ，描述在进行独立 随机试验 时，每次试验都有相同概率 “成功”的情况下，获得成功的总次数。掷硬币 十次出现五次正面的概率、产品合格率
99
%
{\displaystyle \,99\%\,}
只有“成功”和“失败”两种可能结果 ，每次重复时成功概率不变的独立随机试验称作伯努利试验 ，例如上述的掷硬币出现正面或反面、对产品进行抽样检查时抽到正品或次品。伯努利试验作为理论模型，其前提在现实中无法完全得到满足，比如生产线会磨损，因此每件产品合格的概率并非固定。尽管如此，二项分布给出的概率通常足以用于提供有用的推断；即使在已知前提没有满足的场合，二项分布也能用于参考和比较。二项分布的应用出现在遗传学 、质量控制 等领域之中。
若随机变量
X
{\displaystyle \,X\,}
概率质量函数
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
)
,
{\displaystyle \Pr(X=k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\quad (k=0,1,\ldots ,n),}
其中
n
{\displaystyle \,n\,}
正整数 、
0
≤
p
≤
1
{\displaystyle \,0\leq p\leq 1\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
参数 为
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
X
∼
B
(
n
,
p
)
{\displaystyle \,X\sim \operatorname {B} (n,p)\,}
X
∼
Bin
(
n
,
p
)
{\displaystyle \,X\sim \operatorname {Bin} (n,p)\,}
1
−
p
{\displaystyle \,1-p\,}
q
{\displaystyle \,q\,}
进行
n
{\displaystyle \,n\,}
独立 伯努利试验 的结果可以由
n
{\displaystyle \,n\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
S
S
F
S
F
{\displaystyle SSFSF}
表示五次试验中第一、二、四次的结果为成功，其余为失败。设每次试验成功的概率为
p
{\displaystyle \,p\,}
1
−
p
{\displaystyle \,1-p\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
n
−
k
{\displaystyle \,n-k\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
{\displaystyle \,p^{k}(1-p)^{n-k}\,}
从
n
{\displaystyle \,n\,}
元素 中选出含
k
{\displaystyle \,k\,}
子集 的方法数量等于二项式系数
(
n
k
)
=
n
!
k
!
(
n
−
k
)
!
.
{\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}
而每种对
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
n
−
k
{\displaystyle \,n-k\,}
F
{\displaystyle \,F\,}
n
{\displaystyle \,n\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
S
{\displaystyle \,S\,}
(
n
k
)
{\displaystyle \,{n \choose k}\,}
(
n
k
)
p
k
(
1
−
p
)
n
−
k
.
{\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}
二项分布是最早得到研究的概率分布之一。丹麦统计学家安德斯·哈尔德 认为其历史可以追溯至布莱兹·帕斯卡 与皮埃尔·德·费马 于1654年对点数分配问题 的讨论：两名玩家赢得每局游戏的机会相同，赢得一定局数的胜者可获得奖金，但比赛仅进行了数局，尚未分出胜负就被迫中断，则奖金该如何分配？帕斯卡认为，奖金的分配应当基于玩家距离胜利所差的局数：若一名玩家还需
r
{\displaystyle \,r\,}
s
{\displaystyle \,s\,}
r
+
s
−
1
{\displaystyle \,r+s-1\,}
2
r
+
s
−
1
{\displaystyle \,2^{r+s-1}\,}
p
=
1
/
2
{\displaystyle \,p=1/2\,}
对二项分布概率的推导为雅各布·伯努利 于《猜度术 概率论 的奠基性作品。伯努利还在其中首次给出了弱大数定律 的严格证明。对二项分布的正态 近似则是由亚伯拉罕·棣莫弗 发现，这一工作于1733年完成，于1738年出版在其著作《机遇论
参数为
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
期望 为
n
p
{\displaystyle \,np\,}
方差 为
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle \,np(1-p)\,}
概率母函数 为
G
(
z
)
=
(
1
−
p
+
p
z
)
n
,
{\displaystyle G(z)=(1-p+pz)^{n},}
矩母函数 为
M
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
t
)
n
,
{\displaystyle M_{X}(t)=(1-p+pe^{t})^{n},}
特征函数 为
φ
X
(
t
)
=
(
1
−
p
+
p
e
i
t
)
n
.
{\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-p+pe^{it})^{n}.}
参数
n
=
1
{\displaystyle \,n=1\,}
伯努利分布 。多项分布 超几何分布 的极限形式。
若
X
1
,
X
2
{\displaystyle \,X_{1},X_{2}\,}
n
1
,
p
{\displaystyle \,n_{1},p\,}
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{2},p\,}
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2}\,}
X
1
+
X
2
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}\,}
n
1
+
n
2
,
p
{\displaystyle \,n_{1}+n_{2},p\,}
X
1
+
X
2
=
k
{\displaystyle \,X_{1}+X_{2}=k\,}
X
1
{\displaystyle \,X_{1}\,}
条件概率分布 是参数为
k
,
n
1
,
n
1
+
n
2
{\displaystyle \,k,n_{1},n_{1}+n_{2}\,}
计算
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
Pr
(
X
=
k
+
1
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k+1)\,}
Pr
(
X
=
k
+
1
)
Pr
(
X
=
k
)
=
(
n
−
k
)
p
(
k
+
1
)
(
1
−
p
)
(
k
=
0
,
1
,
…
,
n
−
1
)
,
{\displaystyle {\frac {\Pr(X=k+1)}{\Pr(X=k)}}={\frac {(n-k)p}{(k+1)(1-p)}}\quad (k=0,1,\ldots ,n-1),}
因此，当
k
<
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k<(n+1)p-1\,}
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
k
>
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,k>(n+1)p-1\,}
Pr
(
X
=
k
)
{\displaystyle \,\Pr(X=k)\,}
k
{\displaystyle \,k\,}
众数 为
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
下取整
⌊
(
n
+
1
)
p
⌋
{\displaystyle \,\lfloor (n+1)p\rfloor \,}
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
(
n
+
1
)
p
{\displaystyle \,(n+1)p\,}
(
n
+
1
)
p
−
1
{\displaystyle \,(n+1)p-1\,}
p
<
(
n
+
1
)
−
1
{\displaystyle \,p<(n+1)^{-1}\,}
0
{\displaystyle \,0\,}
二项分布的中位数
m
{\displaystyle \,m\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
取整 之间，即
⌊
n
p
⌋
≤
m
≤
⌈
n
p
⌉
{\displaystyle \,\lfloor np\rfloor \leq m\leq \lceil np\rceil \,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
m
=
n
p
{\displaystyle \,m=np\,}
m
{\displaystyle \,m\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
|
m
−
n
p
|
<
max
{
p
,
1
−
p
}
.
{\displaystyle |m-np|<\max\{p,1-p\}.}
若
p
>
ln
2
{\displaystyle \,p>\ln 2\,}
p
<
1
−
ln
2
{\displaystyle \,p<1-\ln 2\,}
|
m
−
n
p
|
<
ln
2.
{\displaystyle |m-np|<\ln 2.}
若
n
{\displaystyle \,n\,}
奇数 、
p
=
1
/
2
{\displaystyle \,p=1/2\,}
(
n
−
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n-1)/2\,}
(
n
+
1
)
/
2
{\displaystyle \,(n+1)/2\,}
二项分布的累积分布函数 和尾概率可以用正则化不完全贝塔函数 表示为
Pr
(
X
≤
k
)
=
I
1
−
p
(
n
−
⌊
k
⌋
,
⌊
k
⌋
+
1
)
,
{\displaystyle \Pr(X\leq k)=I_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,\lfloor k\rfloor +1),}
Pr
(
X
≥
k
)
=
I
p
(
⌈
k
⌉
,
n
−
⌈
k
⌉
+
1
)
.
{\displaystyle \Pr(X\geq k)=I_{p}(\lceil k\rceil ,n-\lceil k\rceil +1).}
二项分布的
r
{\displaystyle \,r\,}
原点矩 满足
μ
r
′
=
E
[
X
r
]
=
∑
j
=
0
r
S
(
r
,
j
)
n
!
p
j
(
n
−
j
)
!
,
{\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}
其中
S
(
r
,
j
)
{\displaystyle \,S(r,j)\,}
第二类 斯特林数 。具体而言，
μ
1
′
=
n
p
,
{\displaystyle \mu '_{1}=np,}
μ
2
′
=
n
p
+
n
(
n
−
1
)
p
2
,
{\displaystyle \mu '_{2}=np+n(n-1)p^{2},}
μ
3
′
=
n
p
+
3
n
(
n
−
1
)
p
2
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
,
{\displaystyle \mu '_{3}=np+3n(n-1)p^{2}+n(n-1)(n-2)p^{3},}
μ
4
′
=
n
p
+
7
n
(
n
−
1
)
p
2
+
6
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
p
3
+
n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
(
n
−
3
)
p
4
.
{\displaystyle \mu '_{4}=np+7n(n-1)p^{2}+6n(n-1)(n-2)p^{3}+n(n-1)(n-2)(n-3)p^{4}.}
其低阶中心矩 为
μ
2
=
n
p
(
1
−
p
)
,
{\displaystyle \mu _{2}=np(1-p),}
μ
3
=
n
p
(
1
−
p
)
(
1
−
2
p
)
,
{\displaystyle \mu _{3}=np(1-p)(1-2p),}
μ
4
=
3
[
n
p
(
1
−
p
)
]
2
+
n
p
(
1
−
p
)
[
1
−
6
p
(
1
−
p
)
]
.
{\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}
n
=
6
{\displaystyle n=6}
p
=
0.5
{\displaystyle p=0.5}
二项分布 及其正态近似标准二项分布
X
′
=
X
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
{\displaystyle X'={\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}}
在
n
→
∞
{\displaystyle \,n\to \infty \,}
趋近 于标准正态分布 。这一结果称作棣莫弗-拉普拉斯定理 中心极限定理 的特殊形式。基于这一定理可以得到
Pr
(
α
<
X
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
<
β
)
→
Φ
(
β
)
−
Φ
(
α
)
,
{\displaystyle \Pr(\alpha <{\frac {X-np}{\sqrt {np(1-p)}}}<\beta )\to \Phi (\beta )-\Phi (\alpha ),}
其中
Φ
{\displaystyle \,\Phi \,}
累积分布函数 。
正态分布为连续概率分布 ，在近似二项分布这类离散概率分布时，可将端点向外偏移
0.5
{\displaystyle \,0.5\,}
Pr
(
X
≤
k
)
≈
Φ
(
k
+
0.5
−
n
p
n
p
(
1
−
p
)
)
,
{\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx \Phi \left({\frac {k+0.5-np}{\sqrt {np(1-p)}}}\right),}
从而提升近似的准确性，这种技巧称作连续性校正 经验法则 ，例如要求
n
p
(
1
−
p
)
>
9
{\displaystyle \,np(1-p)>9\,}
p
≤
0.5
{\displaystyle \,p\leq 0.5\,}
n
p
>
5
{\displaystyle \,np>5\,}
p
>
0.5
{\displaystyle \,p>0.5\,}
n
(
1
−
p
)
>
5
{\displaystyle \,n(1-p)>5\,}
当
n
→
∞
,
p
→
0
{\displaystyle \,n\to \infty ,p\to 0\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
泊松分布 。以此为基础可以得到
Pr
(
X
≤
k
)
≈
e
−
n
p
∑
j
=
0
k
(
n
p
)
j
j
!
.
{\displaystyle \Pr(X\leq k)\approx e^{-np}\sum _{j=0}^{k}{\frac {(np)^{j}}{j!}}.}
二项分布与其泊松近似之间的绝对误差存在上界。若随机变量
X
{\displaystyle \,X\,}
n
,
p
{\displaystyle \,n,p\,}
Y
{\displaystyle \,Y\,}
n
p
{\displaystyle \,np\,}
∑
k
=
0
∞
‖
Pr
(
X
=
k
)
−
Pr
(
Y
=
k
)
‖
≤
min
{
2
n
p
2
,
3
p
}
.
{\displaystyle \sum _{k=0}^{\infty }\|\Pr(X=k)-\Pr(Y=k)\|\leq \min\{2np^{2},3p\}.}
通常参数
n
{\displaystyle \,n\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
p
{\displaystyle \,p\,}
X
{\displaystyle \,X\,}
x
{\displaystyle \,x\,}
矩估计 和最大似然估计 对参数
p
{\displaystyle \,p\,}
估计量 均为
x
n
{\displaystyle \,{\frac {x}{n}}\,}
无偏 的。
参数
p
{\displaystyle \,p\,}
贝叶斯估计量 先验分布 。若使用连续型均匀分布 作为先验分布，即假设
0
{\displaystyle \,0\,}
1
{\displaystyle \,1\,}
区间 包含
p
{\displaystyle \,p\,}
p
^
=
x
+
1
n
+
2
.
{\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {x+1}{n+2}}.}
这被称作拉普拉斯–贝叶斯估计量 皮埃尔-西蒙·拉普拉斯 用于估计在太阳 连续升起
n
{\displaystyle \,n\,}
若使用参数为
α
,
β
{\displaystyle \,\alpha ,\beta \,}
贝塔分布 作为先验分布，则后验均值估计量为
p
^
=
α
+
x
+
1
α
+
β
+
n
+
2
.
{\displaystyle {\widehat {p}}={\frac {\alpha +x+1}{\alpha +\beta +n+2}}.}
采用贝塔分布作为先验分布时，后验分布 亦是贝塔分布，即贝塔分布为二项分布的共轭先验 。
若要对参数
p
{\displaystyle \,p\,}
区间 形式给出估计，通过求解
∑
j
=
x
n
(
n
j
)
p
L
j
(
1
−
p
L
)
n
−
j
=
α
2
,
{\displaystyle \sum _{j=x}^{n}{n \choose j}p_{L}^{j}(1-p_{L})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}
∑
j
=
0
x
(
n
j
)
p
U
j
(
1
−
p
U
)
n
−
j
=
α
2
,
{\displaystyle \sum _{j=0}^{x}{n \choose j}p_{U}^{j}(1-p_{U})^{n-j}={\frac {\alpha }{2}},}
所得的区间
(
p
L
,
p
U
)
{\displaystyle \,(p_{L},p_{U})\,}
1
−
α
{\displaystyle \,1-\alpha \,}
置信区间 ，称作克洛珀-皮尔逊区间（Clopper-Pearson interval ）。
正态分布可以用于推导近似的置信区间。若用
λ
α
/
2
{\displaystyle \,\lambda _{\alpha /2}\,}
1
−
α
2
{\displaystyle \,1-{\frac {\alpha }{2}}\,}
分位数 ，即
Φ
(
λ
α
/
2
)
=
1
−
α
2
{\displaystyle \,\Phi (\lambda _{\alpha /2})=1-{\frac {\alpha }{2}}\,}
x
n
±
λ
α
/
2
n
x
n
(
1
−
x
n
)
.
{\displaystyle {\frac {x}{n}}\pm {\frac {\lambda _{\alpha /2}}{\sqrt {n}}}{\sqrt {{\frac {x}{n}}\left(1-{\frac {x}{n}}\right)}}.}
Blyth, C. R. Approximate Binomial Confidence Limits . Journal of the American Statistical Association. 1986, 81 : 843–855. doi:10.1080/01621459.1986.10478343 （英语） . Chew, V. Point Estimation of the Parameter of the Binomial Distribution. The American Statistician. 1971, 25 (5): 47–50. doi:10.1080/00031305.1971.10477305 （英语） . Feller, W. An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume 1, Third Edition. Wiley. 1968. ISBN 0-471-25708-7（英语） . Hald, A. A History of Probability and Statistics and Their Applications before 1750. Wiley. 2003. ISBN 0-471-47129-1（英语） . Hamza, K. The Smallest Uniform Upper Bound on the Distance Between the Mean and the Median of the Binomial and Poisson Distributions. Statistics and Probability Letters. 1995, 23 : 21–25. doi:10.1016/0167-7152(94)00090-U （英语） . Johnson, N. L.; Kemp, A. W.; Kotz, S. Univariate Discrete Distributions, Third Edition. Wiley. 2005. ISBN 0-471-27246-9（英语） . Kaas, R.; Buhrman, J. M. Mean, Median and Mode in Binomial Distributions. Statistica Neerlandica. 1980, 34 (1): 13–18. doi:10.1111/j.1467-9574.1980.tb00681.x （英语） . Schader, M.; Schmid, F. Two Rules of Thumb for the Approximation of the Binomial Distribution by the Normal Distribution. The American Statistician. 1989, 43 (1): 23–24. doi:10.1080/00031305.1989.10475601 （英语） . Sheu, S. S. The Poisson Approximation to the Binomial Distribution . The American Statistician. 1984, 38 (3): 206–207. doi:10.1080/00031305.1984.10483202 （英语） . Stigler, S. M. The History of Statistics: The Measurement of Uncertainty before 1900 . Harvard University Press. 1986. ISBN 0-674-40340-1（英语） .
![{\displaystyle \mu '_{r}=E[X^{r}]=\sum _{j=0}^{r}{\frac {S(r,j)n!p^{j}}{(n-j)!}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9eb616ff48171dc34a4694e4951109f642940d8e)
![{\displaystyle \mu _{4}=3[np(1-p)]^{2}+np(1-p)[1-6p(1-p)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc6efa1ae3b379bf77653d9627e8a7d86a9060a)
