环的谱

在抽象代数学，交换代数和代数几何学中，一个交换环$A$的谱是指其素理想全体形成的集合，记作$\mathrm {Spec} (A)$。它被赋予扎里斯基拓扑和结构层，从而成为局部赋环空间。

一个局部赋环空间若同构于一个交换环谱，即称为仿射概形。

扎里斯基拓扑

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对于交换环 $A$ 里的任一理想 ${\mathfrak {a}}$，置 $V({\mathfrak {a}}):=\{{\mathfrak {p}}\in \mathrm {Spec} (A):{\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {a}}\}$。容易证明下述性质：

• $V({\mathfrak {ab}})=V({\mathfrak {a}})\cup V({\mathfrak {b}})$
• $V(\sum _{i}{\mathfrak {a}}_{i})=\bigcap _{i}V({\mathfrak {a}}_{i})$
• $V({\mathfrak {a}})\subset V({\mathfrak {b}})$当且仅当${\sqrt {\mathfrak {a}}}\supset {\sqrt {\mathfrak {b}}}$

因此我们可以在$Spec(A)$上定义一个拓扑结构，使得其闭子集恰为形如$V({\mathfrak {a}})$的子集，称之扎里斯基拓扑。

一般而言，扎里斯基拓扑并不满足豪斯多夫性质。

结构层

考虑扎里斯基拓扑下的下述预层：

${\mathcal {O}}_{0,A}:U\mapsto \varprojlim _{{\mathfrak {p}}\in U}A_{\mathfrak {p}}$

令${\mathcal {O}}_{A}$为其层化，称作$\mathrm {Spec} (A)$的结构层。显然有${\mathcal {O}}_{A,{\mathfrak {p}}}=A_{\mathfrak {p}}$，故$(\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}})$构成一个局部赋环空间。

一个元素$a\in A$给出${\mathcal {O}}_{A}$的截面，事实上可以证明$\Gamma (\mathrm {Spec} (A),{\mathcal {O}}_{A})=A$。

交换环谱间的态射

设$A,B$为交换环，$\phi :A\rightarrow B$为一同态，则可定义一个映射$f({\mathfrak {p}})=\phi ^{-1}({\mathfrak {p}})$，这是从$\mathrm {Spec} (B)$到$\mathrm {Spec} (A)$的连续映射，在结构层上则以$a\mapsto \phi (b)$定义$f^{\sharp }:{\mathcal {O}}_{A}\rightarrow f_{*}{\mathcal {O}}_{B}$，那么$(f,f^{\sharp })$给出局部赋环空间的态射。

反之，任何仿射概形间的态射皆由此唯一地给出。上述对应遂建立起交换环的反范畴与仿射概形范畴的等价性。

古典观点

令$k$为代数封闭域，给定$f_{i}\in k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$（i=1,2,...），则方程组$f_{i}(x_{1},\ldots ,x_{n})=0$定义一个代数簇$X\subset \mathbb {A} _{k}^{n}$。

设${\mathfrak {a}}:=(f_{1},\ldots ,f_{n})\subset k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$，$A:=\mathrm {k[X_{1},\ldots ,X_{n}]/{\mathfrak {a}}}$。根据希尔伯特零点定理，$X$的点一一对应到$A$的极大理想。

一般而言，$\mathrm {Spec} (A)$内的元素一一对应到$X$内的不可约闭集。考虑全体素理想的好处之一，在于可以借此在概形上运用安德烈·韦伊的一般点（generic point）理论；此外，环同态不一定将极大理想拉回到极大理想，除非该环是 Jacobson 环。

$\mathrm {Spec} (A)$的拓扑结构仅涉及${\sqrt {\mathfrak {a}}}$。$A$里的幂零元素看似无几何意义，但它们在研究无穷小变化及态射的纤维上功效至大。

参见

• 《代数几何基础》