数学上，两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集是含有所有既属于 A {\displaystyle A} 又属于 B {\displaystyle B} 的元素，而没有其他元素的集合。
交集是由公理化集合论的分类公理来确保其唯一存在的特定集合 A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ：
也就是直观上：
A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集写作“ A ∩ B {\displaystyle A\cap B} ”，“对所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ A ∩ B {\displaystyle x\in A\cap B} 等价于 x ∈ A {\displaystyle x\in A} 且 x ∈ B {\displaystyle x\in B} ”
例如：集合 { 1 , 2 , 3 } {\displaystyle \{1,2,3\}} 和 { 2 , 3 , 4 } {\displaystyle \{2,3,4\}} 的交集为 { 2 , 3 } {\displaystyle \{2,3\}} 。数字 9 {\displaystyle 9} 不属于素数集合 { 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , … } {\displaystyle \{2,3,5,7,11,\ldots \}} 和奇数集合 { 1 , 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , … } {\displaystyle \{1,3,5,7,9,11,\ldots \}} 的交集。
若两个集合 A {\displaystyle A} 和 B {\displaystyle B} 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作： A ∩ B = ∅ {\displaystyle A\cap B=\varnothing } 。例如集合 { 1 , 2 } {\displaystyle \{1,2\}} 和 { 3 , 4 } {\displaystyle \{3,4\}} 不相交，写作 { 1 , 2 } ∩ { 3 , 4 } = ∅ {\displaystyle \{1,2\}\cap \{3,4\}=\varnothing } 。
更一般的，交集运算可以对多个集合同时进行。例如，集合 A , B {\displaystyle A,B} ， C {\displaystyle C} 和 D {\displaystyle D} 的交集为 A ∩ B ∩ C ∩ D = A ∩ ( B ∩ ( C ∩ D ) ) {\displaystyle A\cap B\cap C\cap D=A\cap (B\cap (C\cap D))} 。交集运算满足结合律。即：
以上定义可根据无限并集和补集来推广到任意集合的交集。
取一个集合 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} ，则根据分类公理可以取以下唯一存在的集合：
也就是直观上搜集所有 M c {\displaystyle M^{c}} 的集合， 这样的话有：
根据一阶逻辑的定理(Ce)，也就是：
但根据一阶逻辑的等式相关定理，下式：
显然是个定理（也就是直观上为真），故：
换句话说：
那可以做如下的符号定义：
称为 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的任意交集或无限交集。也就是直观上“对所有 x {\displaystyle x} ， x ∈ ⋂ M {\displaystyle x\in \bigcap {\mathcal {M}}} 等价于对任何 M {\displaystyle {\mathcal {M}}} 的下属集合 M {\displaystyle M} ，都有 x ∈ M {\displaystyle x\in M} ”
例如：
类似于无限并集，无限交集的表示符号也有多种
可模仿求和符号记为
但大多数人会假设指标集 I {\displaystyle I} 的存在，换句话说
在指标集 I {\displaystyle I} 是自然数系 N {\displaystyle \mathbb {N} } 的情况下，更可以仿无穷级数来表示，也就是说：
也可以更粗略直观的将 ⋂ i = 1 ∞ A ( i ) {\displaystyle \bigcap _{i=1}^{\infty }A(i)} 写作 A 1 ∩ A 2 ∩ A 3 ∩ … {\displaystyle A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3}\cap \ldots } 。
A和
的交集
：
![{\displaystyle (\forall A)(\forall B)(\forall x)\left\{(x\in A\cap B)\Leftrightarrow \left[(x\in A)\wedge (x\in B)\right]\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54360e98d87681f93515678a7bf5f38a8388f0b4)
和 的交集写作“ ”，“对所有 
， 
等价于 
且 
”
和
的交集为
。数字
不属于素数集合
和奇数集合
的交集。
和 的交集为空，就是说它们彼此没有公共元素，则他们不相交，写作：
。例如集合
和
不相交，写作
。
，
和
的交集为
。交集运算满足结合律。即：
![{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists A)[(x\in A)\wedge (\exists M\in {\mathcal {M}})(A=M^{c})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d67866579140d60b65b1b975dc70004e12e318d1)
![{\displaystyle x\in \bigcup {\bar {\mathcal {M}}}\Leftrightarrow (\exists M)[(M\in {\mathcal {M}})\wedge (x\notin M)\wedge (\exists A)(A=M^{c})]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1899bfcbe3c6795e5a1dedb68d10caf7217fdd51)
