伯恩施坦问题

微分几何中，伯恩施坦问题如下：如果在Rⁿ⁻¹上的函数图象是Rⁿ中的极小曲面，那么函数是否必然是线性函数？这个结果在维数n不大于8时成立，但n不小于9时不成立。这条问题是以俄罗斯数学家谢尔盖·纳塔诺维奇·伯恩施坦命名，他在1914年解出了n = 3的情形。

问题

设f是一个有n - 1个实变数的函数。f的图象是Rⁿ中的曲面。这曲面的极小曲面条件，就是f满足极小曲面方程

$\sum _{i=1}^{n-1}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\frac {\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}{\sqrt {1+\sum _{j=1}^{n-1}({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}})^{2}}}}=0$

伯恩施坦问题是指，如果一个在整个Rⁿ⁻¹上有定义的函数f符合这条方程，f是否必然是一次多项式。

历史

Bernstein (1915–1917)证明了伯恩施坦定理：一个在R²上的实函数的图象如果是R³中极小曲面，这曲面必定是平面。

Fleming (1962)给出了伯恩施坦定理的新证明，用了R³中没有非平面的面积最小化锥的结果推断出定理。

De Giorgi (1965)证明了如果Rⁿ⁻¹中没有非平面的面积最小化锥，那么伯恩施坦定理的类似结果在Rⁿ成立，特别是这结果可以推出定理在R⁴中成立。

Almgren (1966)证明了R⁴中没有非平面的面积最小化锥，将伯恩施坦定理推广到R⁵。

Simons (1968)证明了R⁷中没有非平面的面积最小化锥, 将伯恩施坦定理推广到R⁸。他也给出了R⁸中的局部稳定锥的一些例子，并问这些例子是否整体面积最小化。

Bombieri, De Giorgi & Giusti (1969)证明了詹姆斯·西蒙斯的锥确实是整体最小化的，并证明了Rⁿ对于n≥9时，有图象是极小曲面但不是超平面。连同西蒙斯的结果，这显示了伯恩施坦定理的类似结果，在维数上到8时是对的，在更高维数是错的。

参考

• Almgren, F. J., Some interior regularity theorems for minimal surfaces and an extension of Bernstein's theorem, Annals of Mathematics. Second Series, 1966, 84: 277–292, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970520, MR 0200816 
• Bernstein, S.N., Sur une théorème de géometrie et ses applications aux équations dérivées partielles du type elliptique, Comm. Soc. Math. Kharkov, 1915–1917, 15: 38–45  German translation in Bernstein, Serge, Über ein geometrisches Theorem und seine Anwendung auf die partiellen Differentialgleichungen vom elliptischen Typus, Mathematische Zeitschrift (Springer Berlin / Heidelberg), 1927, 26: 551–558, ISSN 0025-5874, doi:10.1007/BF01475472 （德语） 
• Bombieri, Enrico; De Giorgi, Ennio; Giusti, E., Minimal cones and the Bernstein problem, Inventiones Mathematicae, 1969, 7: 243–268, ISSN 0020-9910, MR 0250205, doi:10.1007/BF01404309 
• De Giorgi, Ennio, Una estensione del teorema di Bernstein, Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa (3), 1965, 19: 79–85 [2015-05-17], MR 0178385, （原始内容存档于2015-06-16） 
• Fleming, Wendell H., On the oriented Plateau problem, Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. Serie II, 1962, 11: 69–90, ISSN 0009-725X, MR 0157263, doi:10.1007/BF02849427 
• Sabitov, I.Kh., Bernstein theorem, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Simons, James, Minimal varieties in riemannian manifolds, Annals of Mathematics. Second Series, 1968, 88: 62–105, ISSN 0003-486X, JSTOR 1970556, MR 0233295 
• Straume, E., Bernstein problem in differential geometry, Hazewinkel, Michiel (编), 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 

外部链接

• Encyclopaedia of Mathematics article on the Bernstein theorem（页面存档备份，存于互联网档案馆）