余代数

在数学中，余代数是带单位元的结合代数的对偶结构，后者的公理由一系列交换图给出，将这些图中的箭头反转，便得到余代数的公理。

余代数的概念可用于李群及群概形等领域中。

定义

形式上来说，域 $K$ 上的余代数是一个 $K$ -向量空间 $C$ 及 $K$ -线性映射 $\Delta :C\to C\otimes _{K}C$ （余乘法）与 $\epsilon :C\to K$ （余单位元），使得：

$(\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta )\circ \Delta =(\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$
$(\mathrm {id} _{C}\otimes \epsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C}=(\epsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta$ .

等价的说法是：以下图表交换：

在第一个图表中，我们等同了 $C\otimes (C\otimes C)$ 与 $(C\otimes C)\otimes C$ ；同理，在第二个图表中，我们等同了 $C$ 、 $C\otimes K$ 与 $K\otimes C$ 。

第一个图表是代数乘法结合律的对偶版本，称为余乘法之余结合律。第二个图表是代数单位元的对偶版本。

处理余代数时，以下记法可以大大地简化式子，称为 Sweedler 记法。这套记法在数学界中颇为流行。给定余代数 $(C,\Delta ,\epsilon )$ 中的一个元素 $c$ ，存在一族元素 $c_{(1)}^{i},c_{(2)}^{i}\in C$ ，使得

\Delta (c)=\sum _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}.

在 Sweedler 记法中，上式写作

\Delta (c)=\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.

举例明之，余单位元 $\epsilon$ 之公理可表成

c=\sum _{(c)}\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;

余乘法 $\Delta$ 则可表成

\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.

在 Sweedler 记法中，这些式子都被写作

\sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.

一些作者会省略求和符号，此时 Sweedler 记法表成

\Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}

与

c=\epsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\epsilon (c_{(2)}).\;