结合代数
在数学里,结合代数是指一向量空间(或更一般地,一模),其允许向量有具分配律和结合律的乘法。因此,它为一特殊的代数。结合代数,是一种代数系统,类似于群、环、域,而更接近于环。仿照由实数来构造复数的方法,可用复数来构造新的数。
定义
编辑一于体K上的结合代数A的定义为一于K上的向量空间,其K-双线性映射A × A → A 具有结合律:
- 对任何于A内的x、y和z,(x y) z = x (y z)。
此乘法的双线性性质可表示成
- 对任何于A内的x、y和z,满足结合律: (x + y) z = x z + y z;
- 对任何于A内的x、y及于K的a,满足分配律: x (y + z) = x y + x z;
- 对任何于A内的x、y及于K内的a,满足结合律 a (x y) = (a x) y = x (a y)。
当A含有单位元,即元素1使得对任一于A内的x,1x = x1 = x,则称A为具一的结合代数或单作结合代数。 此一代数为一个环,且包含所以体K内的元素a,由a1相连接。
上述的定义没有任何改变地广义化成了于可交换环K上的代数(除了K-线性空间被称做模而非向量空间之外)。详述请见代数 (环论)。
于一体K上的结合代数A的维度为其K-向量空间的维度。
例子
编辑- 其元素为体K的n×n方阵形成了一于K上的单作结合代数。
- 复数形成了于实数上的二维单作结合代数。
- 四元数形成了于实数上的四维单作结合代数(但不为一复数上的代数,因为复数和四元数不可交换)。
- 实系数多项式形成了一于实数上的单作结合代数。
- 给定一巴拿赫空间X,其连续线性算子 A : n → X形成了一单作结合代数(以算子复合做为乘法);事实上,这是一个巴拿赫代数。
- 给定一拓扑空间X,于X上的连续实(复)值函数形成了一单作结合代数;这里,加法和乘法是对函数的各点相加和相乘。
- 一非单作的结合代数为所有x趋向无限时的极限为零的函数f: R → R所组成的集合。
- 克里福代数也是结合代数的一种,在几何和物理上都很有用。
- 局部有限偏序集合的相交代数为一组合数学内的单作结合代数。
若A和B为体K上的结合代数,代数同态 h: A → B则是一K-线性映射,其对任何于A内的x、y,会有h(xy) = h(x) h(y)的关系。加上态射的概念,于K上的结合代数组成的类便成了一范畴。
举个例子,设A为所有实值连续函数R → R所组成的代数,及B=R,这两者都是于R上的代数,且其每一连续函数f指定至数字f(0)的映射会是个由A至B的代数同态。
免指标标记法
编辑前面所述之结合代数的定义,其结合律的定义是对A的所有元素而定的。但有时不涉及A内元素的结合律定义会较方便。 这可以由下列方法作到。一定义成在一向量空间A内映射M的代数:
其为结合代数当M有下面性质:
其中,符号 表示函数的复合,而Id则为恒等函数:对所有于A内的x, 。要了解其定义是等价的,只需要知道上述式子的两边都是三个引数的函数。例如,式子左边为
类似地,一单作结合代数可以以单位映射 来定义,其性质如下:
其中,单位映射η将K内的元素k映射至A内的元素k1,这里1是A的单位元。映射s只是个标量乘积: 。
广义化
编辑共代数
编辑表示
编辑参考
编辑- Ross Street, Quantum Groups: an entrée to modern algebra (1998). (Provides a good overview of index-free notation)